提取公因式的时候别被根号迷惑了

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{4x^{2} + x – 1} + x + 1}{\sqrt{x^{2} + \sin x}} = ?
$$

二、解析

分析可知，本题中变量 $x$ 是趋于负无穷大的，所以，我们要尝试提取公因式，使得式子中出现更多的位于分母上的变量 $x$, 因为这样就可以使用等价无穷小，或者使式子中某些部分变得趋于零，从而可能被消掉.

同时，在提取公因式的时候要注意，由于本题中的变量 $x$ 是趋于负无穷大的，所以，要注意是否需要添加负号.

此外，本题中还存在根号，我们一定要特别注意分辨根号的作用范围.

由于 $\sqrt{x^{2} + \sin x}$ 和 $\sqrt{4x^{2} + x – 1}$ 中都可以提取出来一个 “$\textcolor{orangered}{ x^{2} }$”, 并使得变量 $x$ 移动到分母上，所以：

$$
\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{4x^{2} + x – 1} + x + 1}{\sqrt{x^{2} + \sin x}} = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{ \textcolor{orangered}{x^{2}} \left(4 + \frac{1}{x} – \frac{1}{x^{2}}\right) } + x + 1}{\sqrt{ \textcolor{orangered}{x^{2}} \left(1 + \frac{\sin x}{x^{2}}\right)}}
$$

接着，把上面式子中的 $\textcolor{orangered}{x^{2}}$ 提取到根号的外面，需要注意的是，由于 $x \rightarrow – \infty$, $x^{2} \rightarrow + \infty$, 所以，提取出来的不是 $x$, 而是 $\textcolor{orangered}{-x}$——因为提取出 $x$ 的话相当于在原式上添加了负号，只有提取出 $\textcolor{orangered}{-x}$ 才相当于和原式保持不变，因为 $\textcolor{orangered}{-x} \rightarrow + \infty$:

$$
\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{ \textcolor{orangered}{x^{2}} \left(4 + \frac{1}{x} – \frac{1}{x^{2}}\right) } + x + 1}{\sqrt{ \textcolor{orangered}{x^{2}} \left(1 + \frac{\sin x}{x^{2}}\right)}} = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\textcolor{orangered}{-x} \sqrt{4 + \frac{1}{x} – \frac{1}{x^{2}}} + x + 1}{\textcolor{orangered}{-x} \sqrt{1 + \frac{\sin x}{x^{2}}}}
$$

接着，我们需要在上式的分子和分母中同时除以 $\textcolor{orangered}{-x}$, 但是，由于根号的存在，我们很可能会得到下面这样一个错误的计算结果：

$$
\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\textcolor{orangered}{-x} \sqrt{4 + \frac{1}{x} – \frac{1}{x^{2}}} + \textcolor{lightgreen}{ x + 1} }{\textcolor{orangered}{-x} \sqrt{1 + \frac{\sin x}{x^{2}}}} = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{-\sqrt{4 + \frac{1}{x} – \frac{1}{x^{2}}} + \textcolor{lightgreen}{ x + 1 }}{-\sqrt{1 + \frac{\sin x}{x^{2}}}}
$$

上面的问题就来源于根号所产生的“迷惑”，使得我们误以为分子中的 $\textcolor{orangered}{-x}$ 是整个式子的 $\textcolor{orangered}{-x}$, 事实上，正确的计算方式为：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\textcolor{orangered}{-x} \sqrt{4 + \frac{1}{x} – \frac{1}{x^{2}}} + \textcolor{lightgreen}{ x + 1} }{\textcolor{orangered}{-x} \sqrt{1 + \frac{\sin x}{x^{2}}}} \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\textcolor{orangered}{-x} \left( \sqrt{4 + \frac{1}{x} – \frac{1}{x^{2}}} + \textcolor{lightgreen}{ 1 + \frac{1}{x}} \right) }{\textcolor{orangered}{-x} \left( \sqrt{1 + \frac{\sin x}{x^{2}}} \right)} \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{-\sqrt{4 + \frac{1}{x} – \frac{1}{x^{2}}} + \textcolor{lightgreen}{ 1 + \frac{1}{x} }}{-\sqrt{1 + \frac{\sin x}{x^{2}}}} \\ \\
= \ & \frac{-2 + 1}{-1} \\ \\
= \ & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}
\end{aligned}
$$

综上可知：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{4x^{2} + x – 1} + x + 1}{\sqrt{x^{2} + \sin x}} = 1
}
}
$$

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