基于主对角线元素复杂度梯度的矩阵/行列式化简策略

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的另一篇文章《矩阵/行列式 的一个优化策略》中，我们首次提出了在包含多个 $0$ 元素的矩阵/行列式中 的一个优化策略，那么，如果初始的矩阵/行列式中没有 $0$ 元素，或者只有少量的 $0$ 元素该怎么办呢？

在本文中，我们将以矩阵/行列式的主对角线为基准，通过元素复杂度梯度排列的方式，给同学们提供一种适用性更广泛的矩阵/行列式化简的方法。

二、正文

策略

如图 01 所示的是一个 $3\times 3$ 阶的矩阵，虚线表示主对角线，三个不同大小的矩阵块表示主对角线上的元素，不同的矩形块大小表示对应位置不同元素的复杂程度。同时，主对角线之外的元素尽可能消为 $0$ 元素。

图 01 所示的矩阵就是用本文的方法有可能得到的矩阵的简化模型，同时也包含着本文所述的化简方法本身：

具体来说，由于最简单的元素就是 $0$ 和 $1$, 但是，$0$ 元素本身无法产生实质的运算效果，所以，最简单且有效的元素就是 $1$——

例题 1

题目

已知 $\mathit{A}$ $=$ $\left[\begin{array}{ccc}3& 1& -3\\ -7& -2& 9\\ -2& -1& 4\end{array}\right]$, 则 $\lambda \mathit{E}–\mathit{A}$ $=$ $?$

难度评级：

解析

首先写出矩阵 $\lambda \mathit{E}–\mathit{A}$:

$$\left[\begin{array}{ccc}\lambda –3& -1& 3\\ 7& \lambda +2& -9\\ 2& 1& \lambda –4\end{array}\right]$$

观察可知，矩阵 $\lambda \mathit{E}–\mathit{A}$ 中含有一个值为 $1$ 的元素，位于矩阵 $\mathit{A}$ 的第三行第二列：

$$\left[\begin{array}{ccc}\lambda –3& -1& 3\\ 7& \lambda +2& -9\\ 2& 1& \lambda –4\end{array}\right]$$

于是，我们先把这个 $1$ 元素移动到第一行第一列的位置：

$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{ccc}\lambda –3& -1& 3\\ 7& \lambda +2& -9\\ 2& 1& \lambda –4\end{array}\right]\\ \\ \Rightarrow –& \left[\begin{array}{ccc}2& 1& \lambda –4\\ 7& \lambda +2& -9\\ \lambda –3& -1& 3\end{array}\right]\\ \\ \Rightarrow & \left[\begin{array}{ccc}1& 2& \lambda –4\\ \lambda +2& 7& -9\\ -1& \lambda –3& 3\end{array}\right]\end{array}$$

接着利用第一行第一列的 $1$ 元素，对第一列和第一行进行消 $0$ 操作：

$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{ccc}1& 2& \lambda –4\\ \lambda +2& 7& -9\\ -1& \lambda –3& 3\end{array}\right]\\ \\ \Rightarrow & \mathrm{对}\mathrm{第}\mathrm{一}\mathrm{列}\mathrm{进}\mathrm{行}\mathrm{消}0\\ \\ \Rightarrow & \left[\begin{array}{ccc}1& 2& \lambda –4\\ 0& 3–2\lambda & –(\lambda –1{)}^2\\ 0& \lambda –1& \lambda –1\end{array}\right]\\ \\ \Rightarrow & \mathrm{对}\mathrm{第}\mathrm{一}\mathrm{行}\mathrm{进}\mathrm{行}\mathrm{消}0\\ \\ \Rightarrow & \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 3–2\lambda & –(\lambda –1{)}^2\\ 0& \lambda –1& \lambda –1\end{array}\right]\end{array}$$

接着可以发现，第二行第二列的元素 “$3–2\lambda$” 复杂度比第三行第三列的元素 “$\lambda –1$” 高，因此，我们要做一下调整，将复杂度比较低的元素 “$\lambda –1$” 移动到第二行第二列的位置。

但现在的问题是，上面的矩阵中有两个值为 “$\lambda –1$” 的元素，该怎么选择将哪一个放到第二行第二列的位置呢？

由于第二行第二列元素的上方已经有一个 $0$ 元素，我们接下来就要尽可能使第二行第二列元素的下方也变成 $0$ 元素，这样才能方便我们之后的消 $0$ 操作，所以，我们将第三行第三列的 “$\lambda –1$” 元素移动到第二行第二列的位置：

$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 3–2\lambda & –(\lambda –1{)}^2\\ 0& \lambda –1& \lambda –1\end{array}\right]\\ \\ \Rightarrow –& \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& –(\lambda –1{)}^2& 3–2\lambda \\ 0& \lambda –1& \lambda –1\end{array}\right]\\ \\ \Rightarrow & \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& (\lambda –1{)}^2& 2\lambda –3\\ 0& \lambda –1& \lambda –1\end{array}\right]\\ \\ \Rightarrow & \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \lambda –1& \lambda –1\\ 0& (\lambda –1{)}^2& 2\lambda –3\end{array}\right]\end{array}$$

之后，利用第二行第二列的元素 “$\lambda –1$” 对第二行和第二列做消 $0$ 运算：

$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \lambda –1& \lambda –1\\ 0& (\lambda –1{)}^2& 2\lambda –3\end{array}\right]\\ \\ \Rightarrow & \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \lambda –1& \lambda –1\\ 0& (\lambda –1{)}^2& 2\lambda –3\end{array}\right]\\ \\ \Rightarrow & \mathrm{对}\mathrm{第}\mathrm{二}\mathrm{列}\mathrm{进}\mathrm{行}\mathrm{消}0\\ \\ \Rightarrow & \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \lambda –1& \lambda –1\\ 0& 0& –(\lambda –2{)}^2\end{array}\right]\\ \\ \Rightarrow & \mathrm{对}\mathrm{第}\mathrm{二}\mathrm{列}\mathrm{进}\mathrm{行}\mathrm{消}0\\ \\ \Rightarrow & \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \lambda –1& 0\\ 0& 0& –(\lambda –2{)}^2\end{array}\right]\end{array}$$

至此，我们就实现了对矩阵 $\lambda \mathit{E}–\mathit{A}$ 的消 $0$ 化简。

例题 2

题目

已知 $\mathit{B}$ $=$ $\left[\begin{array}{ccc}3& 0& 8\\ 3& -1& 6\\ -2& 0& -5\end{array}\right]$, 则 $\lambda \mathit{E}–\mathit{B}$ $=$ $?$

难度评级：

解析

首先写出矩阵 $\lambda \mathit{E}–\mathit{B}$:

$$\left[\begin{array}{ccc}\lambda –3& 0& -8\\ -3& \lambda +1& -6\\ 2& 0& \lambda +5\end{array}\right]$$

观察可知，矩阵 $\lambda \mathit{E}–\mathit{B}$ 中并没有值为 $1$ 的元素，但是存在值为 $2$ 的元素，因此，我们要将其移动到第一行第一列的位置，并转换为 $1$:

$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{ccc}\lambda –3& 0& -8\\ -3& \lambda +1& -6\\ 2& 0& \lambda +5\end{array}\right]\\ \\ \Rightarrow –& \left[\begin{array}{ccc}2& 0& \lambda +5\\ -3& \lambda +1& -6\\ \lambda –3& 0& -8\end{array}\right]\\ \\ \Rightarrow -2& \left[\begin{array}{ccc}1& 0& \frac{\lambda +5}{2}\\ -3& \lambda +1& -6\\ \lambda –3& 0& -8\end{array}\right]\end{array}$$

接着，开始利用第一行第一列的元素 $1$ 对矩阵的第一列和第一行进行化简：

$$\begin{array}{rl}-2& \left[\begin{array}{ccc}1& 0& \frac{\lambda +5}{2}\\ -3& \lambda +1& -6\\ \lambda –3& 0& -8\end{array}\right]\\ \\ \Rightarrow & \mathrm{对}\mathrm{第}\mathrm{一}\mathrm{列}\mathrm{进}\mathrm{行}\mathrm{消}0\\ \\ \Rightarrow -2& \left[\begin{array}{ccc}1& 0& \frac{\lambda +5}{2}\\ 0& \lambda +1& \frac{3\lambda +3}{2}\\ 0& 0& \frac{-(\lambda +1{)}^2}{2}\end{array}\right]\\ \\ \Rightarrow & \mathrm{对}\mathrm{第}\mathrm{一}\mathrm{行}\mathrm{进}\mathrm{行}\mathrm{消}0\\ \\ \Rightarrow -2& \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \lambda +1& \frac{3\lambda +3}{2}\\ 0& 0& \frac{-(\lambda +1{)}^2}{2}\end{array}\right]\end{array}$$

根据元素的复杂度，当前第二行第二列位置上的元素 “$\lambda +1$” 刚好是第二复杂的元素，所以，可直接开始对第二列和第二行元素的消 $0$ 化简操作：

$$\begin{array}{rl}-2& \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \lambda +1& \frac{3\lambda +3}{2}\\ 0& 0& \frac{-(\lambda +1{)}^2}{2}\end{array}\right]\\ \\ \Rightarrow -2& \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \lambda +1& 0\\ 0& 0& \frac{-(\lambda +1{)}^2}{2}\end{array}\right]\\ \\ \Rightarrow & \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \lambda +1& 0\\ 0& 0& (\lambda +1{)}^2\end{array}\right]\end{array}$$

至此，我们就实现了对矩阵 $\lambda \mathit{E}–\mathit{B}$ 的消 $0$ 化简。

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