二阶矩阵的快速求逆公式

一、前言

求解逆矩阵是线性代数中的一个基本知识点。在考试时的时候，要求解的逆矩阵一般是二阶或者三阶的矩阵，在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们一个二阶矩阵的快速求逆公式以及该公式的记忆方法。

二、正文

公式

若二阶矩阵 $\begin{bmatrix}
A & B \\
C & D
\end{bmatrix}$ 可逆，则其逆矩阵 $\begin{bmatrix}
A & B \\
C & D
\end{bmatrix}^{-1}$ 的快速计算公式为：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
\begin{bmatrix}
A & B \\
C & D
\end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{AD – BC}
\begin{bmatrix}
D & -B \\
-C & A
\end{bmatrix} = \frac{1}{|A|}
\begin{bmatrix}
D & -B \\
-C & A
\end{bmatrix}
}
}
$$

记忆方法

要记住二阶矩阵 $\begin{bmatrix}
\textcolor{white}{\colorbox{green}{A}} & \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \\
\textcolor{black}{\colorbox{orange}{C}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{D}}
\end{bmatrix}$ 的快速求逆公式，要记住的核心关键词就是“ 对 角 线 ”：

所得逆矩阵的系数 $\frac{1}{ \textcolor{white}{\colorbox{green}{A}} \ \textcolor{white}{\colorbox{green}{D}} \ – \ \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \ \textcolor{black}{\colorbox{orange}{C}} }$ 其实就是原矩阵 主 对 角 线 和 副 对 角 线 元素对应相乘再相减后取倒数；

所得逆矩阵的矩阵部分 $\begin{bmatrix}
\ \ \ \textcolor{white}{\colorbox{green}{D}} & \textcolor{orangered}{-} \ \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \ \ \ \\
\textcolor{orangered}{-} \textcolor{black}{\colorbox{orange}{C}} & \ \ \ \ \textcolor{white}{\colorbox{green}{A}} \ \ \
\end{bmatrix}$ 则是通过对调原矩阵 主 对 角 线 元素，并且将原矩阵 副 对 角 线 元素取负数之后得到的（原矩阵 副 对 角 线 元素的相对位置不变）。

即：

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{white}{\colorbox{green}{A}} & \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \\
\textcolor{black}{\colorbox{orange}{C}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{D}}
\end{bmatrix} = \frac{1}{ \textcolor{white}{\colorbox{green}{A}} \ \textcolor{white}{\colorbox{green}{D}} \ – \ \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \ \textcolor{black}{\colorbox{orange}{C}} } \begin{bmatrix}
\ \ \ \textcolor{white}{\colorbox{green}{D}} & \textcolor{orangered}{-} \ \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \ \ \ \\
\textcolor{orangered}{-} \textcolor{black}{\colorbox{orange}{C}} & \ \ \ \ \textcolor{white}{\colorbox{green}{A}} \ \ \
\end{bmatrix}
$$

Tip

一般的三阶及以上阶数的矩阵并没有像二阶矩阵这样简洁且通用的求逆公式；
此外，一阶矩阵的逆矩阵就是直接对其元素取倒数：$\begin{bmatrix}
A
\end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix}
A^{-1}
\end{bmatrix}$, $A$ $\neq$ $0$.

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