关于积分对函数奇偶性影响的一个扩展公式

一、前言

我们知道，一般情况下，积分会导致函数的奇偶性发生改变。例如，在下面的式子中，一般情况下，如果函数 $f(x)$ 是奇函数，则 $F(x)$ 就是偶函数；如果函数 $f(x)$ 是偶函数，则 $F(x)$ 就是奇函数：

$$
F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t
$$

但是，如果我们要分析的是下面这个式子，则函数 $f(x)$ 的奇偶性会对函数 $F(x)$ 的奇偶性产生什么样的影响呢？

$$
F(x) = \int_{0}^{x} g(x) \cdot f(t) \mathrm{~d} t
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过详细的计算，给同学们讲明白这个问题。

二、正文

$f(t)$ 为偶函数

若 $f(t)$ 为偶函数，则：

$$
\textcolor{yellow}{
f(-t) = f(t)
}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
F(\textcolor{orange}{-x}) \\ \\
& = \int_{0}^{\textcolor{orange}{-x}} g(\textcolor{orange}{-x}) \cdot f(t) \mathrm{~d} t \\ \\
& \Rightarrow \textcolor{gray}{\begin{cases}
t = -k \\
t \in (0, -x) \rightarrow k \in (0, \textcolor{black}{\colorbox{orange}{x}})
\end{cases}} \\ \\
& = \int_{0}^{\textcolor{black}{\colorbox{orange}{x}}} g(-x) \cdot f(-k) \mathrm{~d} (\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{-}}k) \\ \\
& = \textcolor{yellow}{ (\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{-}}1) \int_{0}^{x} \textcolor{#4ca5e4}{g(-x)} \cdot f(k) \mathrm{~d} (k) } \\ \\
& \Rightarrow \begin{cases}
\textcolor{#4ca5e4}{g(x)} \text{ 为偶函数} \Leftrightarrow \begin{cases}
\begin{aligned}
& F(-x) \\ & = \textcolor{yellow}{ – \int_{0}^{x} \textcolor{#4ca5e4}{g(-x)} \cdot f(k) \mathrm{~d} (k) } \\ & = – \int_{0}^{x} \textcolor{#4ca5e4}{g(x)} \cdot f(k) \mathrm{~d} (k) \\ & = -F(x) \\ & \Rightarrow \textcolor{springgreen}{ F(x) \text{ 为奇函数} }
\end{aligned}
\end{cases} \\ \\
\textcolor{#4ca5e4}{g(x)} \text{ 为奇函数} \Leftrightarrow \begin{cases}
\begin{aligned}
& F(-x) \\ & = \textcolor{yellow}{ – \int_{0}^{x} \textcolor{#4ca5e4}{g(-x)} \cdot f(k) \mathrm{~d} (k) } \\ & = \int_{0}^{x} \textcolor{#4ca5e4}{g(x)} \cdot f(k) \mathrm{~d} (k) \\ & = F(x) \\ & \Rightarrow \textcolor{springgreen}{ F(x) \text{ 为偶函数} }
\end{aligned}
\end{cases}
\end{cases}
\end{aligned}
$$

$f(t)$ 为奇函数

若 $f(t)$ 为奇函数，则：

$$
\textcolor{yellow}{
f(-t) = -f(t)
}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
F(\textcolor{orange}{-x}) \\ \\
& = \int_{0}^{\textcolor{orange}{-x}} g(\textcolor{orange}{-x}) \cdot f(t) \mathrm{~d} t \\ \\
& \Rightarrow \textcolor{gray}{\begin{cases}
t = -k \\
t \in (0, -x) \rightarrow k \in (0, \textcolor{black}{\colorbox{orange}{x}})
\end{cases}} \\ \\
& = \int_{0}^{\textcolor{black}{\colorbox{orange}{x}}} g(-x) \cdot f(\textcolor{black}{\colorbox{tan}{-}}k) \mathrm{~d} (\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{-}}k) \\ \\
& = (\textcolor{black}{\colorbox{tan}{-}} 1) \cdot (\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{-}}1)\int_{0}^{x} \textcolor{#4ca5e4}{g(-x)} \cdot f(k) \mathrm{~d} (k) \\ \\
& = \textcolor{yellow}{ \int_{0}^{x} \textcolor{#4ca5e4}{g(-x)} \cdot f(k) \mathrm{~d} (k) } \\ \\
& \Rightarrow \begin{cases}
\textcolor{#4ca5e4}{g(x)} \text{ 为偶函数} \Leftrightarrow \begin{cases}
\begin{aligned}
& F(-x) \\ & = \textcolor{yellow}{ \int_{0}^{x} \textcolor{#4ca5e4}{g(-x)} \cdot f(k) \mathrm{~d} (k) } \\ & = \int_{0}^{x} \textcolor{#4ca5e4}{g(x)} \cdot f(k) \mathrm{~d} (k) \\ & = F(x) \\ & \Rightarrow \textcolor{springgreen}{ F(x) \text{ 为偶函数} }
\end{aligned}
\end{cases} \\ \\
\textcolor{#4ca5e4}{g(x)} \text{ 为奇函数} \Leftrightarrow \begin{cases}
\begin{aligned}
& F(-x) \\ & = \textcolor{yellow}{ \int_{0}^{x} \textcolor{#4ca5e4}{g(-x)} \cdot f(k) \mathrm{~d} (k) } \\ & = – \int_{0}^{x} \textcolor{#4ca5e4}{g(x)} \cdot f(k) \mathrm{~d} (k) \\ & = – F(x) \\ & \Rightarrow \textcolor{springgreen}{ F(x) \text{ 为奇函数} }
\end{aligned}
\end{cases}
\end{cases}
\end{aligned}
$$

综上，如果我们用 “$\thicksim$” 表示奇函数，用 “$\smallsmile$” 表示偶函数，则对应的关系表为：

f(x)	g(x)	F(x)
偶	偶	奇
偶	奇	偶
奇	偶	偶
奇	奇	奇
f(x)	g(x)	g(x)

通过上面的表格可以看出来，只要函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的奇偶性 相 同 ，函数 $F(x)$ 就是 奇 函数；只要函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的奇偶性 不 相 同 ，函数 $F(x)$ 就是 偶 函数

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