关于 $\arctan$ 的一个恒等式及其证明

一、前言

下面这个恒等式是考研数学中和高等数学中一个很重要的恒等式：

$$
\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}
$$

在本文中，荒原之梦考研数学将给同学们证明上面这个式子。

二、正文

要证明下式成立：

$$
\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}
$$

首先要证明下面的函数 $f(x)$ 是一个不增不减的函数，也就是一个导函数值恒等于零的函数：

$$
f(x) = \arctan x + \arctan \frac{1}{x}
$$

由于，当 $x > 0$ 或者 $x < 0$ 的时候，有：

$$
\begin{aligned}
f ^{\prime} (x) \\ \\
& = \left( \textcolor{pink}{\arctan x} + \textcolor{yellow}{ \arctan \frac{1}{x} } \right) ^{\prime} \\ \\
& = \textcolor{pink}{ \frac{1}{1 + x^{2}} } + \textcolor{yellow}{ \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}} \cdot \frac{-1}{x^{2}} } \\ \\
& = \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{-1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} \\ \\
& = \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{-1}{1 + x^{2}} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{0}}
\end{aligned}
$$

于是可知，函数 $f(x)$ 确实是一个不增不减的函数，那么，我们只需要在函数 $f(x)$ 的定义域上任选一个点代入到 $f(x)$ 中，就可以计算出 $f(x)$ 的具体值。

由于在函数 $f(x)$ 中，不能有 $x = 0$, 所以，我们需要将函数 $f(x)$ 分成 $x > 0$ 和 $x < 0$ 两段进行考虑——

$\textcolor{red}{\Large{\boldsymbol{\star}}}$ 为了方便计算，在 $(0, + \infty)$ 区间上，我们可以令 $x = 1$, 则可得：

$$
\begin{aligned}
f(1) & = \arctan 1 + \arctan \frac{1}{1} \\ \\
& = \arctan 1 + \arctan 1 \\ \\
& = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\frac{\pi}{2}}}
\end{aligned}
$$

$\textcolor{red}{\Large{\boldsymbol{\star}}}$ 在 $(- \infty， 0)$ 区间上，我们可以令 $x = -1$, 则可得：

$$
\begin{aligned}
f(-1) & = \arctan (-1) + \arctan \frac{1}{-1} \\ \\
& = \arctan (-1) + \arctan (-1) \\ \\
& = \frac{-\pi}{4} + \frac{-\pi}{4} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\frac{-\pi}{2}}}
\end{aligned}
$$

函数 $f(x)$ $=$ $\arctan x$ $+$ $\arctan \frac{1}{x}$ 的图象如图 01 所示：

事实上，恒等式 $\arctan \textcolor{black}{\colorbox{orange}{x}}$ $+$ $\arctan \frac{1}{\textcolor{black}{\colorbox{orange}{x}}}$ $=$ $\frac{\pi}{2}$ 中的 $x$ 可以替换成任意的式子，例如：

$$
\begin{rcases}
x > 0 \\
x < 0
\end{rcases} \Rightarrow \arctan (\textcolor{orange}{\mathrm{e}^{x}}) + \arctan \frac{1}{\textcolor{orange}{\mathrm{e}^{x}}} = \textcolor{springgreen}{ \frac{\pi}{2} }
$$

Note

需要注意的是，由于无论 $x > 0$ 还是 $x < 0$, 始终都有 $\mathrm{e}^{x} > 0$, 所以，上面的式子不存在等于 $\textcolor{orangered}{ \frac{-\pi}{2} }$ 或者其他值的可能性。

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