求三角函数的 $n$ 阶导：先降幂

一、题目

已知 $y(x)$ $=$ $\sin^{3} x$ $+$ $\sin x \cos x$, 则：

$$
y^{(n)} = ?
$$

难度评级：

二、解析

本文让我们求解函数 $y(x)$ 的 $n$ 阶导，一般情况下，我们求解一个函数的 $n$ 阶导，可以采用归纳法，但在本题中，为了计算的方便，我们首先需要给式子“降幂”。

对于三次方三角函数的降幂需要用到三倍角公式，根据「荒原之梦考研数学」的《三角函数的三倍角公式》可知：

$$
\begin{aligned}
& \sin 3x = 3 \sin x – 4 \sin^{3} x \\ \\
\Leftrightarrow & \ \sin^{3} x = \frac{1}{4} \left( 3 \sin x – \sin 3x \right) \\ \\
\Leftrightarrow & \ \textcolor{pink}{ \sin^{3} x = \frac{3}{4} \sin x – \frac{1}{4} \sin 3x }
\end{aligned}
$$

又根据二倍角公式，可知：

$$
\begin{aligned}
& \sin 2x = 2 \sin x \cos x \\ \\
\Leftrightarrow & \ \textcolor{orange}{ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x }
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
y(x) & = \textcolor{pink}{ \sin^{3} x } + \textcolor{orange}{ \sin x \cos x } \\ \\
& = \textcolor{pink}{ \frac{3}{4} \sin x – \frac{1}{4} \sin 3x } + \textcolor{orange}{ \frac{1}{2} \sin 2x }
\end{aligned}
$$

接着，根据「荒原之梦考研数学」的《用归纳法求函数的 $n$ 阶导》可知：

$$
\textcolor{yellow}{
\begin{aligned}
& \sin ^{(n)} (k x + b) = k^{n} \sin \left( kx + n \cdot \frac{\pi}{2} + b \right) \\ \\
\Rightarrow & \ \sin ^{(n)} (k x) = k^{n} \sin \left( kx + \frac{n \pi}{2}\right) \\ \\
\Rightarrow & \ \begin{cases}
\sin ^{(n)} x = \sin \left( x + \frac{n \pi}{2}\right) \\
\sin ^{(n)} 3 x = 3^{n} \sin \left( 3x + \frac{n \pi}{2}\right) \\
\sin ^{(n)} 2x = 2^{n} \sin \left( 2x + \frac{n \pi}{2}\right)
\end{cases}
\end{aligned}
}
$$

综上：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
\begin{aligned}
& y^{(n)}(x) \\ \\
= & \ \frac{3}{4} \sin \left( x + \frac{n}{2} \pi \right) – \frac{3^{n}}{4} \sin \left( 3x + \frac{n}{2} \pi \right) + 2^{n-1} \sin \left( 2x + \frac{ n \pi }{2} \right)
\end{aligned}
}
}
$$

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