乘法运算中的矩阵一般不可以“自由流动”，但单位矩阵可以

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵，且：

$$
\boldsymbol{A B} = \boldsymbol{E}
$$

则：

$$
\boldsymbol{A} \left[ \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A} \left( \boldsymbol{E} + \boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{B}^{\top} \right)^{-1} \boldsymbol{B} \right] \boldsymbol{B} = ?
$$

难度评级：

二、解析

本题要求解的式子含有很多个括号，对于这样含有括号的题目，我们有两个解题思路：

分析可知，通过上面的思路一很难化简题目要求解的式子，所以，我们只能尝试使用上面的思路二求解。

由于：

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{AB} = \boldsymbol{E} \\ \\
\Rightarrow \ & \boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{B} \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{yellow}{ \boldsymbol{BA} = \boldsymbol{E} }
\end{aligned}
$$

所以：

$$
\textcolor{yellow}{ \boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{B}^{\top} } = (\boldsymbol{BA})^{\top} = \boldsymbol{E}^{\top} = \textcolor{yellow}{ \boldsymbol{E} }
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{A} \left[ \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A} \left( \boldsymbol{E} + \textcolor{yellow}{ \boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{B}^{\top} } \right)^{-1} \boldsymbol{B} \right] \boldsymbol{B} \\ \\
= \ & \boldsymbol{A} \left[ \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A} \left( \boldsymbol{E} + \textcolor{yellow}{ \boldsymbol{E} } \right)^{-1} \boldsymbol{B} \right] \boldsymbol{B} \\ \\
= \ & \boldsymbol{A} \left[ \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A} \textcolor{pink}{ \left( 2 \boldsymbol{E} \right)^{-1} } \boldsymbol{B} \right] \boldsymbol{B} \\ \\
= \ & \boldsymbol{A} \left[ \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A} \textcolor{pink}{ \cdot \frac{1}{2} \boldsymbol{E}^{-1} } \boldsymbol{B} \right] \boldsymbol{B} \\ \\
= \ & \boldsymbol{A} \left[ \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A} \textcolor{pink}{ \cdot \frac{1}{2} \boldsymbol{E} } \boldsymbol{B} \right] \boldsymbol{B} \\ \\
= \ & \boldsymbol{A} \left[ \boldsymbol{E} – \textcolor{pink}{\frac{1}{2} \boldsymbol{E}} \textcolor{magenta}{ \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} } \right] \boldsymbol{B} \\ \\
= \ & \boldsymbol{A} \left[ \boldsymbol{E} – \textcolor{pink}{\frac{1}{2} \boldsymbol{E}} \textcolor{magenta}{ \boldsymbol{E} } \right] \boldsymbol{B} \\ \\
= \ & \boldsymbol{A} \left[ \textcolor{orange}{ \boldsymbol{E} – \frac{1}{2} \boldsymbol{E} } \right] \boldsymbol{B} \\ \\
= \ & \boldsymbol{A} \textcolor{orange}{ \frac{1}{2} \boldsymbol{E} } \boldsymbol{B} \\ \\
= \ & \textcolor{orange}{ \frac{1}{2} \boldsymbol{E} } \textcolor{orangered}{ \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} } \\ \\
= \ & \textcolor{orange}{ \frac{1}{2} \boldsymbol{E} } \textcolor{orangered}{ \boldsymbol{E} } \\ \\
= \ & \textcolor{springgreen}{ \frac{1}{2} \boldsymbol{E} }
\end{aligned}
$$

三、总结

通过本题，我们知道，假如 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$, $\boldsymbol{\textcolor{red}{C}}$ 是一般的矩阵，则下面的运算一般是 不 成 立 的：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A \textcolor{red}{C} B} & = \boldsymbol{\textcolor{red}{C} AB} \\
& = \boldsymbol{A B \textcolor{red}{C}}
\end{aligned}
$$

但如果 $\boldsymbol{\textcolor{springgreen}{E}}$ 是单位矩阵，则下面的运算一般是 成 立 的：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A \textcolor{springgreen}{E} B} & = \boldsymbol{\textcolor{springgreen}{E} A B} \\
& = \boldsymbol{A B \textcolor{springgreen}{E}}
\end{aligned}
$$

也就是说，作为一个特殊的矩阵，单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{springgreen}{E}}$ 可以在矩阵乘法中“自由流动”。

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