乘以自己还和自己相等的矩阵就是在单位矩阵框架内秩互补的矩阵

一、题目

是 $n$ 阶方阵，且满足：

$$
\boldsymbol{A}^{2} = \boldsymbol{A}
$$

请证明：

$$
\mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{A} – \boldsymbol{E}) = n
$$

难度评级：

二、解析

题目让我们由 $\boldsymbol{A}^{2}$ $=$ $\boldsymbol{A}$ 证明 $\mathbf{r} (\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{A} – \boldsymbol{E})$ $=$ $n$, 其实也就说明，这两个式子之间互为充分必要条件。

由于：

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{A}^{2} = \boldsymbol{A} \\ \\
\Rightarrow & \ \textcolor{yellow}{ \boldsymbol{A}(\boldsymbol{A} – \boldsymbol{E} ) = \boldsymbol{O} }
\end{aligned}
$$

于是，由「荒原之梦考研数学」的《$\boldsymbol{AB}$ $=$ $\boldsymbol{O}$ $\Leftrightarrow$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $n$》这篇文章可知：

$$
\textcolor{yellow}{
\mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r}(\boldsymbol{A} – \boldsymbol{E} ) \leqslant n
}
$$

接着，由「荒原之梦考研数学」的《关于 $\mathbf{r} (\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{E} – \boldsymbol{A})$ $\geqslant$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{E})$ 的一个简单证明》这篇文章可知：

$$
\begin{aligned}
& \mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{A} – \boldsymbol{E} ) \\ \\
= & \ \textcolor{yellow}{ \mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{E} – \boldsymbol{A} ) \geqslant \mathbf{r} (\boldsymbol{E} ) } = n
\end{aligned}
$$

综上可知：

$$
\begin{aligned}
& n \geqslant \mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{E} – \boldsymbol{A} ) \geqslant n \\ \\
\Leftrightarrow & \ \textcolor{springgreen}{ \mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{E} – \boldsymbol{A} ) = n }
\end{aligned}
$$

分析可知，满足 $\boldsymbol{A^{2}}$ $=$ $\boldsymbol{A}$ 的矩阵的一些特例如下：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} & = \begin{bmatrix}
\textcolor{springgreen}{1} & 0 & 0 \\
0 & \textcolor{springgreen}{1} & 0 \\
0 & 0 & \textcolor{springgreen}{1}
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol{A} & = \begin{bmatrix}
\textcolor{springgreen}{1} & 0 & 0 \\
0 & \textcolor{springgreen}{1} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol{A} & = \begin{bmatrix}
\textcolor{springgreen}{1} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

结合上面的例子和本文的证明，我们可以将下面这个式子总结为“乘以自己还和自己相等的矩阵就是在单位矩阵框架内秩互补的矩阵”：

$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{aligned}
& \boldsymbol{A}^{2} = \boldsymbol{A} \\
\Leftrightarrow & \ \mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{A} – \boldsymbol{E}) = n
\end{aligned}
}
$$

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