关于 $\mathbf{r} (\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{E}$ $-$ $\boldsymbol{A})$ $\geqslant$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{E})$ 的一个简单证明

一、前言

在考研数学的线性代数科目中，我们有时候会遇到要使用下面这个公式的题目：

$$
\mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{E} – \boldsymbol{A}) \geqslant \mathbf{r} (\boldsymbol{E})
$$

事实上，往年的考研数学真题中也曾出现过要用该性质的题目。但是，同学们在使用这个性质的时候，可能会对上面这个不等式为什么成立产生疑问，在文本中，「荒原之梦考研数学」就给出一种简单的证明方式，帮助同学们解除疑惑。

二、正文

要证明下面这个不等式成立：

$$
\textcolor{springgreen}{
\mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{E} – \boldsymbol{A}) \geqslant \mathbf{r} (\boldsymbol{E})
}
$$

我们只需要证明下面这个不等式不成立即可：

$$
\textcolor{orangered}{
\mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{E} – \boldsymbol{A}) < \mathbf{r} (\boldsymbol{E})
}
$$

假如矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{E}$ 是三阶矩阵，且 $\mathbf{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $2$, 则说明矩阵 $\boldsymbol{A}$ 在经过充分的初等变换化简之后，会剩余 $2$ 个非零行（列）和一个全零行（列）——

我们不妨假设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的这个全零行是其第三行，则，矩阵 $\boldsymbol{E} – \boldsymbol{A}$ 的第三行一定不是全零行。此时，即便矩阵 $\boldsymbol{E} – \boldsymbol{A}$ 的第一行和第二行经过矩阵 $\boldsymbol{E}$ 减去矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的运算变成了全零行，仍然有：

$$
\mathbf{r} (\boldsymbol{E} – \boldsymbol{A}) = 1
$$

此时：

$$
\begin{aligned}
& \mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{E} – \boldsymbol{A}) \\ \\
= & \ 2 + 1 \\ \\
= & \ 3 = \mathbf{r} (\boldsymbol{E})
\end{aligned}
$$

但是，矩阵 $\boldsymbol{E}$ 减去矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不一定会导致矩阵 $\boldsymbol{E} – \boldsymbol{A}$ 的第一行和第二行全为零，即：

$$
\mathbf{r} (\boldsymbol{E} – \boldsymbol{A}) \geqslant 1
$$

于是，下式得证：

$$
\textcolor{springgreen}{
\mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{E} – \boldsymbol{A}) \geqslant \mathbf{r} (\boldsymbol{E})
}
$$

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