遇到比较绕的题目，最好的办法就是先将其翻译成纯粹的数学语言

一、题目

已知 $f(x)$ 的一个原函数为 $\frac{\cos x}{x}$, 则：

$$
I = \int x f ^{\prime} (x) \mathrm{~d} x
$$

难度评级：

二、解析

首先，由“$f(x)$ 的一个原函数为 $\frac{\cos x}{x}$”我们可知：

$$
\textcolor{springgreen}{
\int f(x) \mathrm{~d} x = \frac{\cos x}{x}
}
$$

而不是：

$$
\textcolor{orange}{
f(x) = \frac{\cos x}{x}
}
$$

因为：

$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{aligned}
f(x) \\ \\
= & \left[ \int f(x) \mathrm{~d} x \right] ^{\prime} \\ \\
= & \left[ \frac{\cos x}{x} \right] ^{\prime} \\ \\
= & \frac{- x \sin x – \cos x}{x^{2}}
\end{aligned}
}
$$

接着，我们对题目中要求解的式子进行处理，有：

$$
\begin{aligned}
I \\ \\
= & \int x f ^{\prime} (x) \mathrm{~d} x \\ \\
= & \int x \mathrm{~d} \left[ f(x) \right] \\ \\
= & x f(x) – \int f(x) \mathrm{~d} x \\ \\
= & x \cdot \textcolor{springgreen}{\frac{- x \sin x – \cos x}{x^{2}}} – \frac{\cos x}{x} + C \\ \\
= & \frac{-x \sin x – \cos x}{x} – \frac{\cos x}{x} + C \\ \\
= & \frac{-x \sin x}{x} – 2 \frac{\cos x}{x} + C \\ \\
= & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{- \sin x – \frac{2 \cos x}{x} + C}}
\end{aligned}
$$

其中，$C$ 为任意常数。

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