对一般的对数函数求导的时候，通常可以先转为自然对数

一、题目

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$y$ $=$ $\log_{5} \left( \frac{x}{1-x} \right)$ $\Leftrightarrow$ $y$ $=$ $\log_{5}^{\frac{x}{1-x}}$

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二、解析

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当对数的底数为 $\mathrm{e}$ 的时候，我们称该对数为自然对数，记作：$\log_{\mathrm{e}}^{N}$ 或者 $\ln$.

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我们知道，对一般的对数函数求导，有：

$$
\textcolor{yellow}{
\left( \log_{a} ^{x} \right) ^{\prime} = \frac{1}{x \ln a}
}
$$

而对自然对数求导，有：

$$
\textcolor{yellow}{
\left( \ln x \right) ^{\prime} = \frac{1}{x}
}
$$

可以看到，自然对数的求导结果要比一般对数的求导结果简洁很多，所以，在对一般对数进行求导的时候，我们可以考虑先使用换底公式将其转换为自然对数，之后再进行求导运算：

$$
\begin{aligned}
\log_{\textcolor{springgreen}{a}}^{\textcolor{springgreen}{M}} = \frac{\log_{\textcolor{orangered}{b}}^{\textcolor{springgreen}{M}}}{\log_{\textcolor{orangered}{b}}^{\textcolor{springgreen}{a}}} = \frac{\log_{\mathrm{\textcolor{orangered}{e}}}^{\textcolor{springgreen}{M}}}{\log_{\mathrm{\textcolor{orangered}{e}}}^{\textcolor{springgreen}{a}}} = \frac{\ln \textcolor{springgreen}{M}}{\ln \textcolor{springgreen}{a}}
\end{aligned}
$$

于是，变形可得：

$$
\begin{aligned}
& y \\ \\
= & \ \log_{5} \left( \frac{x}{1-x} \right) \\ \\
= & \ \frac{\ln \frac{x}{1-x}}{\ln 5} \\ \\
= & \ \textcolor{yellow}{ \frac{\ln x – \ln (1-x)}{\ln 5} }
\end{aligned}
$$

接着，求导可得：

$$
\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \\ \\
= & \left[ \textcolor{yellow}{ \frac{\ln x – \ln (1-x)}{\ln 5} } \right]_{x} ^{\prime} \\ \\
= & \ \frac{1}{\ln 5} \cdot \left[ \ln x – \ln (1-x) \right]_{x} ^{\prime} \\ \\
= & \ \frac{1}{\ln 5} \cdot \left( \frac{1}{x} \textcolor{magenta}{-} \frac{\textcolor{magenta}{-} 1}{1-x} \right) \\ \\
= & \ \frac{1}{\ln 5} \cdot \textcolor{orangered}{ \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{1-x} \right) } \\ \\
= & \ \frac{1}{\ln 5} \cdot \textcolor{orangered}{ \frac{1}{x(1-x)} } \\ \\
= & \ \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ \frac{1}{x(1-x) \ln 5 } }}
\end{aligned}
$$

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