对一般的对数函数求导的时候，通常可以先转为自然对数

一、题目

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$y$ $=$ ${\log }_5\left(\frac{x}{1-x}\right)$ $\iff$ $y$ $=$ ${\log }_5^{\frac{x}{1-x}}$

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二、解析

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当对数的底数为 $\mathrm{e}$ 的时候，我们称该对数为自然对数，记作：${\log }_{\mathrm{e}}^N$ 或者 $\ln$.

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我们知道，对一般的对数函数求导，有：

$${\left({\log }_a^x\right)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$$

而对自然对数求导，有：

$${(\ln x)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

可以看到，自然对数的求导结果要比一般对数的求导结果简洁很多，所以，在对一般对数进行求导的时候，我们可以考虑先使用换底公式将其转换为自然对数，之后再进行求导运算：

$$\begin{array}{r}{\log }_a^M=\frac{{\log }_b^M}{{\log }_b^a}=\frac{{\log }_{\mathrm{e}}^M}{{\log }_{\mathrm{e}}^a}=\frac{\ln M}{\ln a}\end{array}$$

于是，变形可得：

$$\begin{array}{rl}& y\\ \\ =& {\log }_5\left(\frac{x}{1-x}\right)\\ \\ =& \frac{\ln \frac{x}{1-x}}{\ln 5}\\ \\ =& \frac{\ln x–\ln (1-x)}{\ln 5}\end{array}$$

接着，求导可得：

$$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\ \\ =& {\left[\frac{\ln x–\ln (1-x)}{\ln 5}\right]}_x^{\prime }\\ \\ =& \frac{1}{\ln 5}\cdot {[\ln x–\ln (1-x)]}_x^{\prime }\\ \\ =& \frac{1}{\ln 5}\cdot \left(\frac{1}{x}-\frac{-1}{1-x}\right)\\ \\ =& \frac{1}{\ln 5}\cdot (\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x})\\ \\ =& \frac{1}{\ln 5}\cdot \frac{1}{x(1-x)}\\ \\ =& \frac{\mathbf{1}}{\mathit{x}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{-}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{ln}\mathbf{}\mathbf{5}}\end{array}$$

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