并集表示“或”，交集表示“且”

一、题目

若用 $A$, $B$, $C$ 表示三个事件，请用 $A$, $B$, $C$ 以及概率论中的运算符号，表示下列事件：

1. $A$, $B$, $C$ 都发生；
2. $A$, $B$, $C$ 都不发生；
3. $A$ 发生，但 $B$ 与 $C$ 不发生；
4. $A$ 与 $B$ 都发生，但 $C$ 不发生；
5. $A$, $B$, $C$ 中至少有一个发生；
6. $A$, $B$, $C$ 中至多有一个发生；
7. $A$, $B$, $C$ 中至多有两个发生；
8. $A$, $B$, $C$ 中至少有两个发生。

难度评级：

二、解析

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$A$, $B$, $C$ 都发生。

“$A$, $B$, $C$ 都发生”，就是“$A$ 发生 且 $B$ 发生 且 $C$ 发生”，即：

$$
\begin{aligned}
& A \textcolor{orange}{\cap} B \textcolor{orange}{\cap} C \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{A} \textcolor{springgreen}{B} \textcolor{springgreen}{C}
\end{aligned}
$$

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$A$, $B$, $C$ 都不发生。

“$A$, $B$, $C$ 都不发生”就是“$A$ 不发生 且 $B$ 不发生 且 $C$ 不发生”，也就是“$A$ 的对立事件发生 且 $B$ 的对立事件发生 且 $C$ 的对立事件发生”，即：

$$
\begin{aligned}
& \bar{A} \textcolor{orange}{\cap} \bar{B} \textcolor{orange}{\cap} \bar{C} \\
\Rightarrow & \textcolor{magenta}{\bar{A}} \textcolor{magenta}{\bar{B}} \textcolor{magenta}{\bar{C}}
\end{aligned}
$$

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$A$ 发生，但 $B$ 与 $C$ 不发生。

“$A$ 发生，但 $B$ 与 $C$ 不发生”就是“$A$ 发生 且 $B$ 的对立事件发生 且 $C$ 的对立事件发生”，即：

$$
\begin{aligned}
& A \textcolor{orange}{\cap} \bar{B} \textcolor{orange}{\cap} \bar{C} \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{A} \textcolor{magenta}{\bar{B}} \textcolor{magenta}{\bar{C}}
\end{aligned}
$$

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$A$ 与 $B$ 都发生，但 $C$ 不发生。

“$A$ 与 $B$ 都发生，但 $C$ 不发生”就是“$A$ 发生 且 $B$ 发生 且 $C$ 的对立事件发生”，即：

$$
\begin{aligned}
& A \textcolor{orange}{\cap} B \textcolor{orange}{\cap} \bar{C} \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{A} \textcolor{springgreen}{B} \textcolor{magenta}{\bar{C}}
\end{aligned}
$$

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$A$, $B$, $C$ 中至少有一个发生。

“$A$, $B$, $C$ 中至少有一个发生”就是“$A$ 发生 或 $B$ 发生 或 $C$ 发生”，即：

$$
\textcolor{springgreen}{A} \textcolor{orangered}{\cup} \textcolor{springgreen}{B} \textcolor{orangered}{\cup} \textcolor{springgreen}{C}
$$

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$A$, $B$, $C$ 中至多有一个发生。

“$A$, $B$, $C$ 中至多有一个发生”就是“$A$ 不发生 且 $B$ 不发生 且 $C$ 不发生，或 者 $A$ 发生 且 $B$ 不发生 且 $C$ 不发生，或 者 $A$ 不发生 且 $B$ 发生 且 $C$ 不发生，或 者 $A$ 不发生 且 $B$ 不发生 且 $C$ 发生”，即：

$$
\begin{aligned}
& (\bar{A} \textcolor{orange}{\cap} \bar{B} \textcolor{orange}{\cap} \bar{C}) \textcolor{orangered}{\cup} (A \textcolor{orange}{\cap} \bar{B} \textcolor{orange}{\cap} \bar{C}) \textcolor{orangered}{\cup} (\bar{A} \textcolor{orange}{\cap} B \textcolor{orange}{\cap} \bar{C}) \textcolor{orangered}{\cup} (\bar{A} \textcolor{orange}{\cap} \bar{B} \textcolor{orange}{\cap} C) \\
\Rightarrow & \textcolor{magenta}{\bar{A} \bar{B} \bar{C} } \textcolor{orangered}{\cup} \textcolor{springgreen}{A} \textcolor{magenta}{\bar{B} \bar{C}} \textcolor{orangered}{\cup} \textcolor{magenta}{\bar{A}} \textcolor{springgreen}{B} \textcolor{magenta}{\bar{C}} \textcolor{orangered}{\cup} \textcolor{magenta}{\bar{A} \bar{B}} \textcolor{springgreen}{C}
\end{aligned}
$$

由于一个事件只可能发生 或 者不发生，因此，也可以表述为“$A$ 不发生 且 $B$ 不发生 且 $C$ 发生与否不知道，或 者 $A$ 不发生 且 $C$ 不发生且 $B$ 发生与否不知道，或 者 $B$ 不发生 且 $C$ 不发生 且 $A$ 发生与否不知道”，即：

$$
\textcolor{magenta}{\bar{A} \bar{B}} \textcolor{orangered}{\cup} \textcolor{magenta}{\bar{A} \bar{C}} \textcolor{orangered}{\cup} \textcolor{magenta}{\bar{B} \bar{C}}
$$

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$A$, $B$, $C$ 中至多有两个发生。

“$A$, $B$, $C$ 中至多有两个发生”就是“除了 $ABC$ 都发生之外的其他所有情况”，即：

$$
\textcolor{magenta}{\overline{ABC}}
$$

也可以说，“$A$, $B$, $C$ 中至多有两个发生”就是“$A$ 不发生 且 $B$ 和 $C$ 发生与否不知道，或 者 $B$ 不发生 且 $A$ 和 $C$ 发生与否不知道，或 者 $C$ 不发生 且 $A$ 和 $B$ 发生与否不知道”，即：

$$
\textcolor{magenta}{\bar{A}} \textcolor{orangered}{\cup} \textcolor{magenta}{\bar{B}} \textcolor{orangered}{\cup} \textcolor{magenta}{\bar{C}}
$$

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$A$, $B$, $C$ 中至少有两个发生。

“$A$, $B$, $C$ 中至少有两个发生”就是“$A$ 发生 且 $B$ 发生，或 者 $B$ 发生且 $C$ 发生，或 者 $A$ 发生 且 $C$ 发生，或 者 $A$ 发生 且 $B$ 发生 且 $C$ 发生”，即：

$$
\begin{aligned}
& (A \textcolor{orange}{\cap} B) \textcolor{orangered}{\cup} (B \textcolor{orange}{\cap} C) \textcolor{orangered}{\cup} (A \textcolor{orange}{\cap} C) \textcolor{orangered}{\cup} (A \textcolor{orange}{\cap} B \textcolor{orange}{\cap} C) \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{A B} \textcolor{orangered}{\cup} \textcolor{springgreen}{B C} \textcolor{orangered}{\cup} \textcolor{springgreen}{A C} \textcolor{orangered}{\cup} \textcolor{springgreen}{ABC}
\end{aligned}
$$

也可以说，“$A$, $B$, $C$ 中至少有两个发生”就是“$A$ 发生 且 $B$ 发生，或 者 $B$ 发生 且 $C$ 发生，或 者 $A$ 发生 且 $C$ 发生，至于 $A$, $B$, $C$ 可以都发生，也可以不都发生，只要满足我们前面的关于两个事件的设定即可，因此 $A \textcolor{orange}{\cap} B \textcolor{orange}{\cap} C$ 可以不考虑”，即：

$$
\begin{aligned}
& (A \textcolor{orange}{\cap} B) \textcolor{orangered}{\cup} (B \textcolor{orange}{\cap} C) \textcolor{orangered}{\cup} (A \textcolor{orange}{\cap} C) \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{A B} \textcolor{orangered}{\cup} \textcolor{springgreen}{B C} \textcolor{orangered}{\cup} \textcolor{springgreen}{A C}
\end{aligned}
$$

用图示表示，如果事件 $A \textcolor{orange}{\cap} B \textcolor{orange}{\cap} C$ 存在，则如图 01 所示：

如果事件 $A \textcolor{orange}{\cap} B \textcolor{orange}{\cap} C$ 不存在，则如图 02 所示：

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