考研数学中那些“各种各样”的矩阵

一、前言

在本文中，荒原之梦考研数学网（zhaokaifeng.com）将考研数学中常用的矩阵都做了一个汇总，方便同学们对不同矩阵的性质做对比，从而更深刻的理解这些矩阵之间的区别、联系与性质。

二、正文

1. 矩阵的表示

$m$ $\times$ $n$ 个元素（可以是数字或符号）排成 $m$ 行 $n$ 列，并用 “$\left(\begin{array}{}\end{array}\right)$” 或者 “$\left[\begin{array}{}\end{array}\right]$” 这样的括号括起来，就成了一个矩阵。

例如，下面都是矩阵：

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$$

$$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$$

$$\left[\begin{array}{cc}8& 9\end{array}\right]$$

当然，我们有时候也会使用下面的方式表示一个矩阵：

$$A,B,A_{m\times n},[a_{ij}],[a_{ij}{]}_{m\times n}$$

2. 方阵

一般情况下，矩阵的行数 $m$ 和列数 $n$ 是不相等，但如果行数和列数相等，那么，这样的矩阵我们也称之为“方阵”，也就是所谓“方形的矩阵”。

对于方阵，我们可以根据其阶数称其为 $n$ 阶方阵，或者 $n$ 阶矩阵。

例如，下面是一个 $2$ 阶方阵：

$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$$

下面的矩阵是一个 $6$ 阶方阵：

$$\left[\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ 6& 7& 8& 9& 10& 11\end{array}\right]$$

有没有 $1$ 阶方阵呢？

对于 $1$ 阶方阵，我们可以说“有”，也可以说“没有”。

为啥这样说呢，因为 $1$ 阶方阵其实和单独的一个数字的所具有的性质没有什么区别，我们当然可以认为这一个数字是一个方阵，当然，大多数情况下，为了表述和使用上的简洁，我们会直接认为，$1$ 阶方阵就是一个数字。

不过，一般情况下，一个数字是不可以被看作是 $1$ 阶方针的。

3. 上三角矩阵

上三角矩阵就是非零元素只出现在主对角线及其上方的矩阵，上三角矩阵也是一种方阵。

下面的矩阵就是一个上三角矩阵：

$$\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{1}& \mathbf{2}& \mathbf{3}\\ 0& \mathbf{2}& \mathbf{3}\\ 0& 0& \mathbf{3}\end{array}\right]$$

4. 下三角矩阵

下三角矩阵就是非零元素只出现在主对角线及其下方的矩阵，下三角矩阵也是一种方阵。

下面的矩阵就是一个下三角矩阵：

$$\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{1}& 0& 0\\ \mathbf{1}& \mathbf{2}& 0\\ \mathbf{1}& \mathbf{2}& \mathbf{3}\end{array}\right]$$

5. 对角矩阵

如果一个矩阵既是上三角矩阵，又是下三角矩阵，也就是说，这个矩阵只有主对角线上含有非零元素，那么，就称其为对角矩阵，对角矩阵也是一种方阵。

下面的矩阵就是一个对角矩阵：

$$\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{1}& 0& 0\\ 0& \mathbf{2}& 0\\ 0& 0& \mathbf{3}\end{array}\right]$$

此外，对于 $n$ 阶对角矩阵，我们一般记为：

$$\mathbf{diag}({\mathit{\xi }}_{\mathbf{1}},{\mathit{\xi }}_{\mathbf{2}},\cdots ,{\mathit{\xi }}_{\mathit{n}})\iff \left[\begin{array}{cccc}{\mathit{\xi }}_{\mathbf{1}}& 0& \cdots & 0\\ 0& {\mathit{\xi }}_{\mathbf{2}}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\mathit{\xi }}_{\mathit{n}}\end{array}\right]$$

其中，${\xi }_1$, ${\xi }_2$, $\cdots$, ${\xi }_n$ 不能全部为零。

6. 标量矩阵

如果上面的对角矩阵中 ${\xi }_1$, ${\xi }_2$, $\cdots$, ${\xi }_n$ 全都等于同一个非零数值，则称该矩阵为标量矩阵，标量矩阵也是一种方阵。

下面的矩阵就是一个标量矩阵：

$$\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{9}& 0& 0\\ 0& \mathbf{9}& 0\\ 0& 0& \mathbf{9}\end{array}\right]$$

7. 单位矩阵

如果上面标量矩阵中的 ${\xi }_1$, ${\xi }_2$, $\cdots$, ${\xi }_n$ 全都等于 $\mathbf{1}$, 则称该矩阵为单位矩阵，单位矩阵也是一种方阵。

下面的矩阵就是一个单位矩阵：

$$\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{1}& 0& 0\\ 0& \mathbf{1}& 0\\ 0& 0& \mathbf{1}\end{array}\right]$$

8. 对称矩阵

如果一个方阵主对角线两侧对称位置的元素分别相等，则称该矩阵是对称矩阵。

下面的矩阵是一个三阶对称矩阵：

$$\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{1}& \mathbf{4}& \mathbf{5}\\ \mathbf{4}& \mathbf{2}& \mathbf{6}\\ \mathbf{5}& \mathbf{6}& \mathbf{3}\end{array}\right]$$

注意：在对称矩阵中，不要求主对角线上的元素全都为 $0$.

9. 反对称矩阵

如果一个矩阵主对角线两侧对称位置的元素互为相反数，则称该矩阵是反对称矩阵。

下面的矩阵是一个三阶反对称矩阵：

$$\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{0}& \mathbf{4}& \mathbf{5}\\ \mathbf{-}\mathbf{4}& \mathbf{0}& \mathbf{6}\\ \mathbf{-}\mathbf{5}& \mathbf{-}\mathbf{6}& \mathbf{0}\end{array}\right]$$

注意：反对称矩阵主对角线上的元素必须全部等于 $0$.

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