题目
设 [latex]M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}}dx,N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+x}{e^{x}},K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x})dx,[/latex]则 ( )
( A ) [latex]M>N>K[/latex]
( B ) [latex]M>K>N[/latex]
( C ) [latex]K>M>N[/latex]
( D ) [latex]K>N>M[/latex]
解析
在解答题目时，能化简的要先化简，能计算出具体数值的要先计算出具体数值。
首先观察本题，发现 [latex]M[/latex] 对应的式子应该是可以化简或者通过积分计算出具体的数值。于是：
[latex]M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}}dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+x^{2}+2x}{1+x^{2}}dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}[\frac{1+x^{2}}{1+x^{2}}+\frac{2x}{1+x^{2}}]dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}[1+\frac{2x}{1+x^{2}}]dx[/latex]
计算到上面这一步之后，我们有两种方法可以继续上面的计算，一种方法是利用积分函数在对称区间上的性质，另一种是利用基本积分公式直接计算。
下面分别使用上述提到的两种方法展开计算。
方法一：利用积分函数在对称区间上的性质
这里说的“对称区间”指的是关于原点对称的区间，观察题目可知，题目中的积分函数的上限和下限组成的区间 [latex][-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}][/latex] 正好是关于原点对称的。
根据积分的几何意义，我们知道，奇函数在关于原点对称的对称区间上的积分是等于 [latex]0[/latex] 的。
[latex]y=x,x \in (-\infty,+\infty)[/latex] 就是一个典型的奇函数，如图 1：
因此，接下来，我们如果能证明一个函数是奇函数，就可以证明这个函数在关于原点对称的区间上的积分是 [latex]0.[/latex]
于是，令：
[latex]f(x)=\frac{2x}{1+x^{2}}[/latex]
则：
[latex]\frac{2(-x)}{1+(-x)^{2}} = -\frac{2x}{1+x^{2}} \Rightarrow f(-x) = -f(x).[/latex]
因此 [latex]f(x)=\frac{2x}{1+x^{2}}[/latex] 是一个奇函数，于是：
[latex]\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2x}{1+x^{2}}dx=0.[/latex]
即：
[latex]M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1 d x.[/latex]
方法二：利用基本积分公式直接计算
由前面的计算，我们已知，[latex]M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2x}{1+x^{2}}dx[/latex], 于是，根据积分公式：
[latex]d(x^{\mu})=\mu x^{\mu-1}dx.[/latex]
我们可以令 [latex]2xdx=d(1+x^{2}).[/latex]
于是：
[latex]M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1+\frac{d(1+x^{2})}{1+x^{2}}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1+\frac{1}{1+x^{2}}d(1+x^{2}).[/latex]
接下来，根据基本积分公式：
[latex]\int \frac{1}{x}dx=\ln |x| + c.[/latex]
我们有：
[latex]M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1+\frac{1}{1+x^{2}}d(1+x^{2})=x+\ln |1+x^{2}| + c |_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}+|\ln[1+(\frac{\pi}{2})^{2}]|+c-(-\frac{\pi}{2})-|\ln[1+(-\frac{\pi}{2})^{2}]|-c=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi.[/latex]
又因为，[latex]M[/latex] 的积分上限 [latex]\frac{\pi}{2}[/latex] 减去 [latex]M[/latex] 的积分下限 [latex]-\frac{\pi}{2}[/latex] 也等于 [latex]\pi.[/latex]
根据定积分的基本性质：
[latex]\int_{a}^{b}1dx=b-a.[/latex]
我们知道：
[latex]M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1dx.[/latex]
补充：
如果是计算 [latex]\int \frac{2x}{1-x^{2}}dx[/latex], 则我们至少有以下两种计算方法：
[latex]\int \frac{2x}{1-x^{2}}dx=-\int \frac{1}{1-x^{2}}=-\ln |1-x^{2}| +c;[/latex]
或者：
[latex]\int \frac{2x}{1-x^{2}}dx=\int(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x})dx = -\ln|x-1|-\ln|x+1|+c=-\ln|x^{2}-1|+c.[/latex]
至此，我们分别使用两种方法完成了对 [latex]M[/latex] 的化简计算。
根据定积分的比较定理：
[latex]设 f(x) \leqslant g(x),x \in [a,b], 则 \int_{a}^{b}f(x)dx \leqslant \int_{a}^{b}g(x)dx.[/latex]
观察题目可知，题目中给出的三个定积分 [latex]M,N,K[/latex] 的上限和下限都是一样的，因此，我们可以使用上述比较定理比较他们的大小。
由于在 [latex]M,N,K[/latex] 中，我们目前已知的只有 [latex]M[/latex] 的数值，因此接下来我们先比较 [latex]N[/latex] 和 [latex]K[/latex] 中的积分函数与 [latex]1[/latex] 的大小关系。
首先来判断 [latex]N[/latex] 的积分函数和 [latex]1[/latex] 的大小关系。
当 [latex]x=0[/latex] 时，[latex]1+x=e^{x}=1;[/latex]
当 [latex]x<0[/latex] 时，[latex]e^{x}[/latex] 的减小速度小于 [latex]1+x[/latex] 的减小速度；
当 [latex]x>0[/latex] 时，[latex]e^{x}[/latex] 的增长速度大于 [latex]1+x[/latex] 的增长速度。
也就是说，在整个定义域内，[latex]y=e^{x}[/latex] 的函数图像始终在 [latex]y=1+x[/latex] 的上方或者和 [latex]y=1+x[/latex] 重合，他们二者的图像如图 2:
所以 [latex]\frac{1+x}{e^{x}} \leqslant 1,x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}].[/latex]
再来判断 [latex]K[/latex] 的积分函数和 [latex]1[/latex] 的大小关系。
我们知道，当 [latex]x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}][/latex] 上时，[latex]y=\cos x \geqslant 0[/latex] 的，如图 3:
于是 [latex]1+\sqrt{\cos x} \geqslant 1.[/latex]
综上可知：
[latex]K \geqslant M \geqslant N,[/latex] 正确选项是：C
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