2018 年研究生入学考试数学一选择题第 4 题解析

题目

设 [latex]M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}}dx,N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+x}{e^{x}},K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x})dx,[/latex]则 ( )

( A ) [latex]M>N>K[/latex]

( B ) [latex]M>K>N[/latex]

( C ) [latex]K>M>N[/latex]

( D ) [latex]K>N>M[/latex]

解析

在解答题目时,能化简的要先化简,能计算出具体数值的要先计算出具体数值。
首先观察本题,发现 [latex]M[/latex] 对应的式子应该是可以化简或者通过积分计算出具体的数值。于是:

[latex]M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}}dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+x^{2}+2x}{1+x^{2}}dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}[\frac{1+x^{2}}{1+x^{2}}+\frac{2x}{1+x^{2}}]dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}[1+\frac{2x}{1+x^{2}}]dx[/latex]

计算到上面这一步之后,我们有两种方法可以继续上面的计算,一种方法是利用积分函数在对称区间上的性质,另一种是利用基本积分公式直接计算。

下面分别使用上述提到的两种方法展开计算。

方法一:利用积分函数在对称区间上的性质

这里说的“对称区间”指的是关于原点对称的区间,观察题目可知,题目中的积分函数的上限和下限组成的区间 [latex][-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}][/latex] 正好是关于原点对称的。

根据积分的几何意义,我们知道,奇函数在关于原点对称的对称区间上的积分是等于 [latex]0[/latex] 的。

[latex]y=x,x \in (-\infty,+\infty)[/latex] 就是一个典型的奇函数,如图 1:

Figure 1. 奇函数图像,使用 www.desmos.com 制作

因此,接下来,我们如果能证明一个函数是奇函数,就可以证明这个函数在关于原点对称的区间上的积分是 [latex]0.[/latex]

于是,令:

[latex]f(x)=\frac{2x}{1+x^{2}}[/latex]

则:

[latex]\frac{2(-x)}{1+(-x)^{2}} = -\frac{2x}{1+x^{2}} \Rightarrow f(-x) = -f(x).[/latex]

因此 [latex]f(x)=\frac{2x}{1+x^{2}}[/latex] 是一个奇函数,于是:

[latex]\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2x}{1+x^{2}}dx=0.[/latex]

即:

[latex]M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1 d x.[/latex]

方法二:利用基本积分公式直接计算

由前面的计算,我们已知,[latex]M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2x}{1+x^{2}}dx[/latex], 于是,根据积分公式:

[latex]d(x^{\mu})=\mu x^{\mu-1}dx.[/latex]

我们可以令 [latex]2xdx=d(1+x^{2}).[/latex]

于是:

[latex]M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1+\frac{d(1+x^{2})}{1+x^{2}}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1+\frac{1}{1+x^{2}}d(1+x^{2}).[/latex]

接下来,根据基本积分公式:

[latex]\int \frac{1}{x}dx=\ln |x| + c.[/latex]

我们有:

[latex]M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1+\frac{1}{1+x^{2}}d(1+x^{2})=x+\ln |1+x^{2}| + c |_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}+|\ln[1+(\frac{\pi}{2})^{2}]|+c-(-\frac{\pi}{2})-|\ln[1+(-\frac{\pi}{2})^{2}]|-c=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi.[/latex]

又因为,[latex]M[/latex] 的积分上限 [latex]\frac{\pi}{2}[/latex] 减去 [latex]M[/latex] 的积分下限 [latex]-\frac{\pi}{2}[/latex] 也等于 [latex]\pi.[/latex]

根据定积分的基本性质:

[latex]\int_{a}^{b}1dx=b-a.[/latex]

我们知道:

[latex]M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1dx.[/latex]

补充:

如果是计算 [latex]\int \frac{2x}{1-x^{2}}dx[/latex], 则我们至少有以下两种计算方法:

[latex]\int \frac{2x}{1-x^{2}}dx=-\int \frac{1}{1-x^{2}}=-\ln |1-x^{2}| +c;[/latex]

或者:

[latex]\int \frac{2x}{1-x^{2}}dx=\int(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x})dx = -\ln|x-1|-\ln|x+1|+c=-\ln|x^{2}-1|+c.[/latex]

至此,我们分别使用两种方法完成了对 [latex]M[/latex] 的化简计算。

根据定积分的比较定理:

[latex]设 f(x) \leqslant g(x),x \in [a,b], 则 \int_{a}^{b}f(x)dx \leqslant \int_{a}^{b}g(x)dx.[/latex]

观察题目可知,题目中给出的三个定积分 [latex]M,N,K[/latex] 的上限和下限都是一样的,因此,我们可以使用上述比较定理比较他们的大小。

由于在 [latex]M,N,K[/latex] 中,我们目前已知的只有 [latex]M[/latex] 的数值,因此接下来我们先比较 [latex]N[/latex] 和 [latex]K[/latex] 中的积分函数与 [latex]1[/latex] 的大小关系。

首先来判断 [latex]N[/latex] 的积分函数和 [latex]1[/latex] 的大小关系。

当 [latex]x=0[/latex] 时,[latex]1+x=e^{x}=1;[/latex]

当 [latex]x<0[/latex] 时,[latex]e^{x}[/latex] 的减小速度小于 [latex]1+x[/latex] 的减小速度;

当 [latex]x>0[/latex] 时,[latex]e^{x}[/latex] 的增长速度大于 [latex]1+x[/latex] 的增长速度。

也就是说,在整个定义域内,[latex]y=e^{x}[/latex] 的函数图像始终在 [latex]y=1+x[/latex] 的上方或者和 [latex]y=1+x[/latex] 重合,他们二者的图像如图 2:

Figure 2. 两个函数的对比图像,使用 www.desmos.com 制作

所以 [latex]\frac{1+x}{e^{x}} \leqslant 1,x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}].[/latex]
再来判断 [latex]K[/latex] 的积分函数和 [latex]1[/latex] 的大小关系。

我们知道,当 [latex]x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}][/latex] 上时,[latex]y=\cos x \geqslant 0[/latex] 的,如图 3:

Figure 3. 余弦函数的图像,使用 www.desmos.com 制作

于是 [latex]1+\sqrt{\cos x} \geqslant 1.[/latex]

综上可知:

[latex]K \geqslant M \geqslant N,[/latex] 正确选项是:C

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