题目
设 M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}}dx,N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+x}{e^{x}},K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x})dx,则 ( )
( A ) M>N>K
( B ) M>K>N
( C ) K>M>N
( D ) K>N>M
解析
在解答题目时，能化简的要先化简，能计算出具体数值的要先计算出具体数值。
首先观察本题，发现 M 对应的式子应该是可以化简或者通过积分计算出具体的数值。于是：
计算到上面这一步之后，我们有两种方法可以继续上面的计算，一种方法是利用积分函数在对称区间上的性质，另一种是利用基本积分公式直接计算。
下面分别使用上述提到的两种方法展开计算。
方法一：利用积分函数在对称区间上的性质
这里说的“对称区间”指的是关于原点对称的区间，观察题目可知，题目中的积分函数的上限和下限组成的区间 [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] 正好是关于原点对称的。
根据积分的几何意义，我们知道，奇函数在关于原点对称的对称区间上的积分是等于 0 的。
y=x,x \in (-\infty,+\infty) 就是一个典型的奇函数，如图 1：
因此，接下来，我们如果能证明一个函数是奇函数，就可以证明这个函数在关于原点对称的区间上的积分是 0.
于是，令：
f(x)=\frac{2x}{1+x^{2}}则：
\frac{2(-x)}{1+(-x)^{2}} = -\frac{2x}{1+x^{2}} \Rightarrow f(-x) = -f(x).因此 f(x)=\frac{2x}{1+x^{2}} 是一个奇函数，于是：
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2x}{1+x^{2}}dx=0.即：
M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1 d x.方法二：利用基本积分公式直接计算
由前面的计算，我们已知，M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2x}{1+x^{2}}dx, 于是，根据积分公式：
d(x^{\mu})=\mu x^{\mu-1}dx.我们可以令 2xdx=d(1+x^{2}).
于是：
M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1+\frac{d(1+x^{2})}{1+x^{2}}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1+\frac{1}{1+x^{2}}d(1+x^{2}).接下来，根据基本积分公式：
\int \frac{1}{x}dx=\ln |x| + c.我们有：
M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1+\frac{1}{1+x^{2}}d(1+x^{2})=x+\ln |1+x^{2}| + c |_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}+|\ln[1+(\frac{\pi}{2})^{2}]|+c-(-\frac{\pi}{2})-|\ln[1+(-\frac{\pi}{2})^{2}]|-c=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi.又因为，M 的积分上限 \frac{\pi}{2} 减去 M 的积分下限 -\frac{\pi}{2} 也等于 \pi.
根据定积分的基本性质：
\int_{a}^{b}1dx=b-a.我们知道：
M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1dx.补充：
如果是计算 \int \frac{2x}{1-x^{2}}dx, 则我们至少有以下两种计算方法：
\int \frac{2x}{1-x^{2}}dx=-\int \frac{1}{1-x^{2}}=-\ln |1-x^{2}| +c;或者：
\int \frac{2x}{1-x^{2}}dx=\int(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x})dx = -\ln|x-1|-\ln|x+1|+c=-\ln|x^{2}-1|+c.至此，我们分别使用两种方法完成了对 M 的化简计算。
根据定积分的比较定理：
设 f(x) \leqslant g(x),x \in [a,b], 则 \int_{a}^{b}f(x)dx \leqslant \int_{a}^{b}g(x)dx.观察题目可知，题目中给出的三个定积分 M,N,K 的上限和下限都是一样的，因此，我们可以使用上述比较定理比较他们的大小。
由于在 M,N,K 中，我们目前已知的只有 M 的数值，因此接下来我们先比较 N 和 K 中的积分函数与 1 的大小关系。
首先来判断 N 的积分函数和 1 的大小关系。
当 x=0 时，1+x=e^{x}=1;
当 x<0 时，e^{x} 的减小速度小于 1+x 的减小速度；
当 x>0 时，e^{x} 的增长速度大于 1+x 的增长速度。
也就是说，在整个定义域内，y=e^{x} 的函数图像始终在 y=1+x 的上方或者和 y=1+x 重合，他们二者的图像如图 2:
所以 \frac{1+x}{e^{x}} \leqslant 1,x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}].
再来判断 K 的积分函数和 1 的大小关系。
我们知道，当 x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] 上时，y=\cos x \geqslant 0 的，如图 3:
于是 1+\sqrt{\cos x} \geqslant 1.
综上可知：
K \geqslant M \geqslant N, 正确选项是：C
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