2018 年研究生入学考试数学一选择题第 4 题解析

题目

M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}}dx,N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+x}{e^{x}},K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x})dx,则 ( )

( A ) M>N>K

( B ) M>K>N

( C ) K>M>N

( D ) K>N>M

解析

在解答题目时,能化简的要先化简,能计算出具体数值的要先计算出具体数值。
首先观察本题,发现 M 对应的式子应该是可以化简或者通过积分计算出具体的数值。于是:

M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}}dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+x^{2}+2x}{1+x^{2}}dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}[\frac{1+x^{2}}{1+x^{2}}+\frac{2x}{1+x^{2}}]dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}[1+\frac{2x}{1+x^{2}}]dx

计算到上面这一步之后,我们有两种方法可以继续上面的计算,一种方法是利用积分函数在对称区间上的性质,另一种是利用基本积分公式直接计算。

下面分别使用上述提到的两种方法展开计算。

方法一:利用积分函数在对称区间上的性质

这里说的“对称区间”指的是关于原点对称的区间,观察题目可知,题目中的积分函数的上限和下限组成的区间 [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] 正好是关于原点对称的。

根据积分的几何意义,我们知道,奇函数在关于原点对称的对称区间上的积分是等于 0 的。

y=x,x \in (-\infty,+\infty) 就是一个典型的奇函数,如图 1:

Figure 1. 奇函数图像,使用 www.desmos.com 制作

因此,接下来,我们如果能证明一个函数是奇函数,就可以证明这个函数在关于原点对称的区间上的积分是 0.

于是,令:

f(x)=\frac{2x}{1+x^{2}}

则:

\frac{2(-x)}{1+(-x)^{2}} = -\frac{2x}{1+x^{2}} \Rightarrow f(-x) = -f(x).

因此 f(x)=\frac{2x}{1+x^{2}} 是一个奇函数,于是:

\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2x}{1+x^{2}}dx=0.

即:

M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1 d x.

方法二:利用基本积分公式直接计算

由前面的计算,我们已知,M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2x}{1+x^{2}}dx, 于是,根据积分公式:

d(x^{\mu})=\mu x^{\mu-1}dx.

我们可以令 2xdx=d(1+x^{2}).

于是:

M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1+\frac{d(1+x^{2})}{1+x^{2}}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1+\frac{1}{1+x^{2}}d(1+x^{2}).

接下来,根据基本积分公式:

\int \frac{1}{x}dx=\ln |x| + c.

我们有:

M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1+\frac{1}{1+x^{2}}d(1+x^{2})=x+\ln |1+x^{2}| + c |_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}+|\ln[1+(\frac{\pi}{2})^{2}]|+c-(-\frac{\pi}{2})-|\ln[1+(-\frac{\pi}{2})^{2}]|-c=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi.

又因为,M 的积分上限 \frac{\pi}{2} 减去 M 的积分下限 -\frac{\pi}{2} 也等于 \pi.

根据定积分的基本性质:

\int_{a}^{b}1dx=b-a.

我们知道:

M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1dx.

补充:

如果是计算 \int \frac{2x}{1-x^{2}}dx, 则我们至少有以下两种计算方法:

\int \frac{2x}{1-x^{2}}dx=-\int \frac{1}{1-x^{2}}=-\ln |1-x^{2}| +c;

或者:

\int \frac{2x}{1-x^{2}}dx=\int(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x})dx = -\ln|x-1|-\ln|x+1|+c=-\ln|x^{2}-1|+c.

至此,我们分别使用两种方法完成了对 M 的化简计算。

根据定积分的比较定理:

设 f(x) \leqslant g(x),x \in [a,b], 则 \int_{a}^{b}f(x)dx \leqslant \int_{a}^{b}g(x)dx.

观察题目可知,题目中给出的三个定积分 M,N,K 的上限和下限都是一样的,因此,我们可以使用上述比较定理比较他们的大小。

由于在 M,N,K 中,我们目前已知的只有 M 的数值,因此接下来我们先比较 NK 中的积分函数与 1 的大小关系。

首先来判断 N 的积分函数和 1 的大小关系。

x=0 时,1+x=e^{x}=1;

x<0 时,e^{x} 的减小速度小于 1+x 的减小速度;

x>0 时,e^{x} 的增长速度大于 1+x 的增长速度。

也就是说,在整个定义域内,y=e^{x} 的函数图像始终在 y=1+x 的上方或者和 y=1+x 重合,他们二者的图像如图 2:

Figure 2. 两个函数的对比图像,使用 www.desmos.com 制作

所以 \frac{1+x}{e^{x}} \leqslant 1,x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}].
再来判断 K 的积分函数和 1 的大小关系。

我们知道,当 x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] 上时,y=\cos x \geqslant 0 的,如图 3:

Figure 3. 余弦函数的图像,使用 www.desmos.com 制作

于是 1+\sqrt{\cos x} \geqslant 1.

综上可知:

K \geqslant M \geqslant N, 正确选项是:C

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