2014 年研究生入学考试数学一选择题第 5 题解析

题目

行列式 \begin{vmatrix} 0& a& b& 0\\ a& 0& 0& b\\ 0& c& d& 0\\ c& 0& 0& d \end{vmatrix}= (    )

( A ) (ad-bc)^{2}
( B ) -(ad-bc)^{2}
( C ) a^{2}d^{2}-b^{2}c^{2}
( D ) b^{2}c^{2}-a^{2}d^{2}

解析

本题就是计算行列式数值的题目,根据使用的定理的不同,可以有至少以下两种解法。

解法一

由于 4 阶行列式是没有办法直接使用对角线法则的(对角线法则只适用于二阶或者三阶行列式),因此,这里我们首先想到的就是“降阶”。

降阶的方法里最直接易想的一个就是使用“N 阶行列式的展开定理”,使用某一行或某一列的元素分别与其对应的代数余子式进行乘积后求和的方式计算行列式的数值。在展开时,最好选择 0 比较多的行或列进行展开。

我们可以按第 2 行进行展开,于是有:

\begin{vmatrix} 0& a& b& 0\\ a& 0& 0& b\\ 0& c& d& 0\\ c& 0& 0& d \end{vmatrix}=a \times (-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a& b& 0\\ c& d& 0\\ 0& 0& d \end{vmatrix} + b \times (-1)^{2+4}\begin{vmatrix} 0& a& b\\ 0& c& d\\ c& 0& 0 \end{vmatrix}=-a(ad^{2}-bcd)+b(adc-bc^{2})=-a^{2}d^{2}+2abcd-b^{2}c^{2}=-(ad-bc)^{2}

综上可知,本题的正确选项是:B

解法二

本题的 0 比较多,因此可以考虑使用以下定理:

Am 方阵,Bn 阶方阵,则:

(当副对角线存在 0 矩阵时可以使用下面的定理。)

\begin{vmatrix} A& O\\ O& B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A& O\\ C& B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A& C\\ O& B \end{vmatrix}=|A||B|.

(当主对角线存在 0 矩阵时可以使用下面的定理。)

\begin{vmatrix} O& A\\ B& O \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} O& A\\ B& C \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} C& A\\ B& O \end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A||B|.

我们又知道“交换行列式的两行或者两列行列式变号”,于是我们有:

\begin{vmatrix} 0& a& b& 0\\ a& 0& 0& b\\ 0& c& d& 0\\ c& 0& 0& d \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} 0& a& b& 0\\ 0& c& d& 0\\ a& 0& 0& b\\ c& 0& 0& d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} b& a& 0& 0\\ d& c& 0& 0\\ 0& 0& a& b\\ 0& 0& c& d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} b& a\\ d& c \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} a& b\\ c& d \end{vmatrix}=(bc-ad)(ad-bc)=abcd-(bc)^{2}-(ad)^{2}+abcd=-[(ad)^{2} + (bc)^{2}-2abcd]=-(ad-bc)^{2}.

综上可知,本题的正确选项是:B

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