2012 年研究生入学考试数学一选择题第 5 题解析

题目

设 [latex]a_{1}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ c_{1} \end{bmatrix},a_{2}=\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ c_{2}\end{bmatrix},a_{3}=\begin{bmatrix} 1\\ -1\\ c_{3} \end{bmatrix},a_{4}=\begin{bmatrix} -1\\ 1\\ c_{4}\end{bmatrix},[/latex] 其中 [latex]c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}[/latex] 为任意常数,则下列向量组线性相关的为 ( )

( A ) [latex]a_{1},a_{2},a_{3}.[/latex]

( B ) [latex]a_{1},a_{2},a_{4}.[/latex]

( C ) [latex]a_{1},a_{3},a_{4}.[/latex]

( D ) [latex]a_{2},a_{3},a_{4}.[/latex]

解析

解答本题需要关于“线性相关”的知识。在向量组 [latex]a_{1},a_{2},\dots a_{n}[/latex] 线性相关的结论中,有这样一个结论:

[latex]n[/latex] 个 [latex]n[/latex] 维向量 [latex]a_{1},a_{2},\dots a_{n}[/latex] 线性相关 [latex]\Leftrightarrow[/latex] 行列式 [latex]|a_{1},a_{2},\dots,a_{n}|=0.[/latex]

上面的结论中提到了 “[latex]n[/latex] 维向量”, 其实 “[latex]n[/latex] 维向量” 是两种向量的合称,第一种叫 “[latex]n[/latex] 维列向量”,即 [latex]n[/latex] 行 [latex]1[/latex] 列,形如:

[latex]a=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n}\end{bmatrix}.[/latex]
第二种叫 “[latex]n[/latex] 维行向量”,即 [latex]1[/latex] 行 [latex]n[/latex] 列,形如:

[latex]b=\begin{bmatrix}b_{1},b_{2},\dots,b_{n}\end{bmatrix}.[/latex]
观察可知,题目中给出的是 [latex]3[/latex] 维列向量,选项中给出的向量的排布组合方式是横向的,因此组合形成的是 [latex]3[/latex] 行 [latex]3[/latex] 列的向量组,符合使用上述有关结论的条件。

此外,为了方便计算,这里还需要介绍一种计算行列式数值的简便方法,如下:
只要主对角线的两侧有任一侧有用 [latex]0[/latex] 填充的三角形就可以用下面的公式计算:

[latex]\begin{bmatrix}\lambda_{1}& 0& 0\\ 0& \lambda_{2}&0\\ 0& 0& \lambda_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_{1}& \star& \star\\ 0& \lambda_{2}& \star\\ 0& 0& \lambda_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_{1}& 0& 0\\ \star& \lambda_{2}& 0 \\ \star& \star& \lambda_{3} \end{bmatrix}=\lambda_{1} \times \lambda_{2} \times \lambda_{3}.[/latex]

注:上述公式中 [latex]\star[/latex] 所在的区域表示该区域不是全部由 [latex]0[/latex] 填充。

只要副对角线的两侧有任一侧有用 0 填充的三角形就可以用下面的公式计算:

[latex]\begin{bmatrix}0& 0& \lambda_{1}\\ 0& \lambda_{2}&0\\ \lambda_{3}& 0& 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\star& \star& \lambda_{1}\\ \star& \lambda_{2}& 0\\ \lambda_{3}& 0& 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0& 0& \lambda_{1}\\ 0& \lambda_{2}& \star \\ \lambda_{3}& \star& \star \end{bmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \times \lambda_{1} \times \lambda_{2} \times \lambda_{3}.[/latex]

注:上述公式中 [latex]\star[/latex] 所在的区域表示该区域不是全部由 [latex]0[/latex] 填充。

下面开始逐个选项进行计算并判断相关性。

A 项:

[latex]\begin{vmatrix}0& 0& 1\\ 0& 1& -1\\ c_{1}& c_{2}& c_{3}\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{3 \times 2}{2}}\times1\times1\times c_{1}=-c_{1}.[/latex]

当 [latex]-c_{1} \neq 0[/latex] 时,[latex]a_{1},a_{2},a_{3}[/latex] 的线性相关不成立。

B 项:

[latex]\begin{vmatrix}0& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ c_{1}& c_{2}& c_{4}\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{3\times2}{2}}\times (-1) \times 1 \times c_{1}=c_{1}.[/latex]
当 [latex]c_{1} \neq 0[/latex] 时,[latex]a_{1},a_{2},a_{4}[/latex] 的线性相关不成立。

C 项:

[latex]\begin{vmatrix}0& 1& -1\\ 0& -1& 1\\ c_{1}& c_{3}& c_{4}\end{vmatrix}=c_{1}-c_{1}=0, 恒成立.[/latex]

[latex]a_{1},a_{3},a_{4}[/latex] 的线性相关性恒成立。

D 项:

[latex]\begin{vmatrix}0& 1& -1\\ 1& -1& 1\\ c_{2}& c_{3}& c_{4}\end{vmatrix}=c_{2}-c_{3}-c_{2}-c_{4}=-c_{3}-c_{4}.[/latex]

当 [latex]-c_{3}-c_{4} \neq 0[/latex] 时,[latex]a_{2},a_{3},a_{4}[/latex] 的线性相关不成立。

综上可知,本题的正确选项是:C

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