题目
设 a_{1}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ c_{1} \end{bmatrix},a_{2}=\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ c_{2}\end{bmatrix},a_{3}=\begin{bmatrix} 1\\ -1\\ c_{3} \end{bmatrix},a_{4}=\begin{bmatrix} -1\\ 1\\ c_{4}\end{bmatrix}, 其中 c_{1},c_{2},c_{3},c_{4} 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( )
( A ) a_{1},a_{2},a_{3}.
( B ) a_{1},a_{2},a_{4}.
( C ) a_{1},a_{3},a_{4}.
( D ) a_{2},a_{3},a_{4}.
解析
解答本题需要关于“线性相关”的知识。在向量组 a_{1},a_{2},\dots a_{n} 线性相关的结论中，有这样一个结论：
n 个 n 维向量 a_{1},a_{2},\dots a_{n} 线性相关 \Leftrightarrow 行列式 |a_{1},a_{2},\dots,a_{n}|=0.
上面的结论中提到了 “n 维向量”, 其实 “n 维向量” 是两种向量的合称，第一种叫 “n 维列向量”，即 n 行 1 列，形如：
a=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n}\end{bmatrix}.
第二种叫 “n 维行向量”，即 1 行 n 列，形如：
b=\begin{bmatrix}b_{1},b_{2},\dots,b_{n}\end{bmatrix}.
观察可知，题目中给出的是 3 维列向量，选项中给出的向量的排布组合方式是横向的，因此组合形成的是 3 行 3 列的向量组，符合使用上述有关结论的条件。
此外，为了方便计算，这里还需要介绍一种计算行列式数值的简便方法，如下：
只要主对角线的两侧有任一侧有用 0 填充的三角形就可以用下面的公式计算：
注：上述公式中 \star 所在的区域表示该区域不是全部由 0 填充。
只要副对角线的两侧有任一侧有用 0 填充的三角形就可以用下面的公式计算：
\begin{bmatrix}0& 0& \lambda_{1}\\ 0& \lambda_{2}&0\\ \lambda_{3}& 0& 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\star& \star& \lambda_{1}\\ \star& \lambda_{2}& 0\\ \lambda_{3}& 0& 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0& 0& \lambda_{1}\\ 0& \lambda_{2}& \star \\ \lambda_{3}& \star& \star \end{bmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \times \lambda_{1} \times \lambda_{2} \times \lambda_{3}.注：上述公式中 \star 所在的区域表示该区域不是全部由 0 填充。
下面开始逐个选项进行计算并判断相关性。
A 项：
\begin{vmatrix}0& 0& 1\\ 0& 1& -1\\ c_{1}& c_{2}& c_{3}\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{3 \times 2}{2}}\times1\times1\times c_{1}=-c_{1}.当 -c_{1} \neq 0 时，a_{1},a_{2},a_{3} 的线性相关不成立。
B 项：
\begin{vmatrix}0& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ c_{1}& c_{2}& c_{4}\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{3\times2}{2}}\times (-1) \times 1 \times c_{1}=c_{1}.
当 c_{1} \neq 0 时，a_{1},a_{2},a_{4} 的线性相关不成立。
C 项：
\begin{vmatrix}0& 1& -1\\ 0& -1& 1\\ c_{1}& c_{3}& c_{4}\end{vmatrix}=c_{1}-c_{1}=0, 恒成立.a_{1},a_{3},a_{4} 的线性相关性恒成立。
D 项：
\begin{vmatrix}0& 1& -1\\ 1& -1& 1\\ c_{2}& c_{3}& c_{4}\end{vmatrix}=c_{2}-c_{3}-c_{2}-c_{4}=-c_{3}-c_{4}.当 -c_{3}-c_{4} \neq 0 时，a_{2},a_{3},a_{4} 的线性相关不成立。
综上可知，本题的正确选项是：C
EOF