特殊条件约束下的一般非齐次二阶线性微分方程特解的求解

一、题目

已知，方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y^{\prime}$ $+$ $4 y$ $=$ $\mathrm{e}^{-2 x}$ 满足条件 $y(0)=0$ 和 $y^{\prime}(0)=1$. 则该方程的特解为（ ）

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二、解析

1. 齐通

首先，题目已知非齐次微分方程对应的齐次微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y^{\prime}$ $+$ $4 y$ $=$ $0$ 的特征方程为：

$$
\lambda^{2} + 4 \lambda + 4 = 0
$$

求解上式可得特征解为：

$$
\lambda_{1} = \lambda_{2} = -2
$$

于是，该齐次方程的通解可写作：

$$
y=\left(C_{1} + C_{2} x\right) e^{-2 x}
$$

其中，$C_{1}$, $C_{2}$ 为任意常数。

2. 非齐特

由于题目给出的非齐次微分方程的右端项为 $e^{-2 x}$, 且对应的特征解也是 $-2$.

于是可知，右端项 $e^{-2 x}$ 中的 $-2$ 是对应特征方程的二重根。

于是，该非齐次微分方程的特解可写作：

$$
y^{*} = A x^{k} e^{-2 x} = A x^{2} e^{-2 x} \tag{1}
$$

于是：

$$
y^{* \prime} = (2A x – 2Ax^{2}) \cdot e^{-2x} \tag{2}
$$

$$
y^{* \prime \prime} = (2A – 8Ax + 4Ax^{2}) \cdot e^{-2x} \tag{3}
$$

将上面的 $(1)$, $(2)$, $(3)$ 式代入 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y^{\prime}$ $+$ $4 y$ $=$ $\mathrm{e}^{-2 x}$, 可得：

$$
2A = 1 \Rightarrow
$$

$$
A = \frac{1}{2}
$$

3. 非齐通

有前面的分析可得，该非齐次微分方程的通解可写作：

$$
Y = \left(C_{1} + C_{2} x\right) e^{-2 x}+\frac{1}{2} x^{2} e^{-2 x} \tag{4}
$$

且：

$$
Y^{\prime} = \left[ C_{2} – 2(C_{1} + C_{2}x) + x – x^{2} \right] e^{-2x} \tag{5}
$$

将 $Y(0)=0$, $Y^{\prime}(0)=1$ 代入 $(4)$, $(5)$ 式，得：

$$
\begin{cases}
C_{1}=0 \\
C_{2}=1
\end{cases}
$$

综上可得，符合题目要求得结果为：

$$
y=x e^{-2 x}+\frac{1}{2} x^{2} e^{-2 x}
$$

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