2024年考研数二第01题解析:第一类间断点、分段函数的分段点,无定义点

一、题目题目 - 荒原之梦

函数 $f(x)$ $=$ $|x|^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}$ 的第一类间断点的个数是 ( $\quad$ )

(A) $3$

(C) $1$

(B) $2$

(D) $0$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,间断点一定是无定义的点。因此,根据分母不能等于零,可得:

$$
\begin{cases}
1 – x \neq 0 \\
x – 2 \neq 0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x \neq 1 \\
x \neq 2
\end{cases}
$$

此外,间断点还经常出现在分段函数的分段点,由于函数 $f(x)$ 可以分为 $x > 0$, $x < 0$ 和 $x = 0$ 三个取值区间,因此,分段点 $x = 0$ 也可能是函数 $f(x)$ 的间断点。

于是可知,函数 $f(x)$ 的可能的第一类间断点为:

$$
1, \ 2, \ 0
$$

接着:

$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{x \rightarrow 1}|x|^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}} \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 1}(1 + x – 1)^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}} \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 1}(1 + x – 1)^{\frac{1}{x-1} \cdot \frac{x-1}{1} \cdot \frac{1}{(1-x)(x-2)}} \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 1}e^{\frac{x-1}{(1-x)(x-2)}} \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 1}e^{\frac{-1}{x-2}} \\
& = e^{\frac{-1}{-1}} \\
& = e
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{x \rightarrow 2^{-}}|x|^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}} \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 2^{-}}x^{\frac{1}{-1 \cdot 0^{-}}} \\
& = 2^{\frac{1}{0^{+}}} \\
& = 2^{+\infty} \\
& = +\infty
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}|x|^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}} \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}x^{\frac{1}{-2}} \\
& = 0^{\frac{-1}{2}} \\
& = \frac{1}{0^{\frac{1}{2}}} \\
& = \frac{1}{0^{+}} \\
& = +\infty
\end{aligned}
$$

注意:
$0^{0}$ $=$ $0$, $2^{0}$ $=$ $1$

综上可知,由于只有一点处左右两侧极限都存在的间断点才是第一类间断点,因此,函数 $f(x)$ 只有 $x = 1$ 这一个间断点,本题正确选项为:C.


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress