连续函数的三点相等定律:连续点及连续点左右两侧的函数值相等

一、题目题目 - 荒原之梦

已知函数 $f(x)$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}, & x>0, \\ b, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则 $a b = ?$

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二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 右侧的函数值为:

$$
f(0^{+})=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}=\frac{1}{2 a}
$$

接着,函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 右左侧和 $x = 0$ 处的函数值为:

$$
f(0)=f(0^{-})=b
$$

由于 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续, 所以:

$$
f(0^{+}) = f(0) = f(0^{-})
$$

即:

$$
\frac{1}{2a} = \frac{b}{1} \Rightarrow 2ab = 1
$$

综上可知:

$$
\textcolor{springgreen}{
a b=\frac{1}{2}
}
$$


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