矩阵乘以其转置矩阵不改变秩的大小

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, 下列命题中正确的是哪个？

(A) 如果 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{E}$, 则必有 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$ 或 $\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{E}$

(B) 如果 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{O}$, 则必有 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$

(C) 如果 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}$ 且 $\boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O}$, 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$

(D) 如果 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$, 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$

难度评级：

二、解析

(A):

$$
A=\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
A^{2}=\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]
$$

(B):

$$
A=\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right] \Rightarrow A^{2}=\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]
$$

(C)

$$
A=-E \Rightarrow A^{2}=(-E)^{2}=E
$$

(D)

$$
r(A)=r\left(A^{\top} A\right) \Rightarrow A^{\top} A=O \Rightarrow
$$

$$
r\left(A^{\top} A\right)=0 \Rightarrow r(A)=0 \Rightarrow A=0
$$

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