周期函数的积分性质汇总

一、前言

你知道周期函数在积分运算中会表现出来哪些性质吗？

如果想判断一个函数否是周期函数，可以参考《如何判断一个函数是否是周期函数以及其周期是多少》

二、解析

设函数 $P(t)$ 在区间 $(- \infty, + \infty)$ 上连续，且以 $T$ 为周期，则其具有以下两大性质：

(1)

$$
\int_{x}^{x + T} P(t) \mathrm{~ d} t = \int_{0}^{T} P(t) \mathrm{~ d} t
$$

Tips:

周期函数在不同周期内与坐标轴围成的面积都是相等的。

(2)

$$
\int_{0}^{x} P(t) \mathrm{~ d} t \ \text{以} \ T \ \text{为周期等价于} \int_{0}^{T} P(t) \mathrm{~ d} t = 0.
$$

Tips:

如果一个是周期函数，则这个函数在其一个周期的尾部的函数值一定等于在这个周期首部的函数值，即，若 $\Phi(x) = \int_{0}^{x} P(t) \mathrm{~ d} t$ 是周期函数，则，$\Phi(T) – \Phi(0) = \int_{0}^{T} P(t) \mathrm{~ d} t = 0$.

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