你能看出这道题该用哪个中值定理吗？

一、题目

已知 $f(0)=0$, $f^{\prime }(x)$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 为严格单调增函数,则函数 $g(x)=\frac{1-f(x)}{x}$ 在 $(0$, $+\mathrm{\infty })$ 上是单调递增还是单调递减？

难度评级：

二、解析

$$g(x)=\frac{1-f(x)}{x}\Rightarrow$$

$$g^{\prime }(x)=\frac{-x{f}^{\prime }(x)-1+f(x)}{x^2}\Rightarrow$$

$$g^{\prime }(x)=\frac{-1}{x^2}-\frac{x{f}^{\prime }(x)-f(x)}{x^2}\Rightarrow$$

根据拉格朗日中值定理：

$$\mathrm{存}\mathrm{在}\xi \in (0,x)\Rightarrow f^{\prime }(\xi )=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(x)}{x}\Rightarrow f(x)=x{f}^{\prime }(\xi )\Rightarrow$$

$$g^{\prime }(x)=\frac{-1}{x^2}-\frac{x{f}^{\prime }(x)-x{f}^{\prime }(\xi )}{x^2}\Rightarrow$$

$$g^{\prime }(x)=\frac{-1}{x^2}-\frac{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(\xi )}{x}.$$

又：

$$f^{\prime }(x)>f^{\prime }(\xi ),x>0\Rightarrow \frac{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(\xi )}{x}>0\Rightarrow$$

$$\frac{-1}{x^2}<0.$$

于是：

$$g^{\prime }(x)<0.$$

综上可知，函数 $g(x)$ 单调递减。

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