这个矩阵求逆的题目直接求解很快，间接求解也可能很“快”

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}=(2,3,-1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\beta}=(1,0,0)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}+\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{\top}}$, 则 $(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})^{-1}=?$

难度评级：

二、解析

方法 1：直接计算，不绕弯

由题可知：

$$
A=E+\alpha \beta^{\top} \Rightarrow A-2 E=\alpha \beta^{\top}-E
$$

又：

$$
\alpha \beta^{\top}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \\ -1\end{array}\right)(1,0,0)=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{array}\right)
$$

因此：

$$
A-2 E=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -1\end{array}\right)
$$

于是，根据《用初等变换法求逆矩阵》得方法，可得：

$$
\left(\begin{array}{cccccc}1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \Rightarrow\left(\begin{array}{lllllc}1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & -1\end{array}\right)
$$

即：

$$
(A-2 E)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -1\end{array}\right).
$$

方法 2：用一些技巧，但花费的时间可能得不偿失

首先：

$$
\beta^{\top} \alpha=(1,0,0)\left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \\ -1\end{array}\right)=2
$$

于是：

$$
\left(\alpha \beta^{\top}\right)^{2}=\alpha\left(\beta^{\top} \alpha\right) \beta^{\top}=2 \alpha \beta^{\top}
$$

又：

$$
A = E+\partial \beta^{\top} \Rightarrow A-E=\alpha \beta^{\top}
$$

所以：

$$
(A-E)^{2}=2(A-E) \Rightarrow
$$

$$
A^{2}+E-2 A-2 A+2 E=0 \Rightarrow
$$

$$
A^{2}+3 E-4 A=O
$$

因此：

$$
(A-2 E)^{2}=A^{2}+4 E-4 A \Rightarrow
$$

$$
(A-2 E)^{2}=E \Rightarrow
$$

$$
(A-2 E)(A-2 E)=E
$$

于是，根据逆矩阵的定义可知：

$$
(A-2 E)^{-1}=(A-2 E)=\alpha \beta^{\top}-E=
$$

$$
\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -1\end{array}\right).
$$

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