矩阵乘法中的“左行右列”原则是什么？用在这道题上可以快速解题！

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right]$, $\boldsymbol{\Lambda}=\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 2 & \\ & & -1\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\Lambda}-\boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{A} = ?$

难度评级：

二、解析

首先，由题可知，$\Lambda$ 可以被看作一个变形的单位向量：

$$
\Lambda=\left[\begin{array}{ccc}1 & & \\ & 2 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 2 \times 1 & \\ & & (-1) \times 1\end{array}\right].
$$

因此，根据矩阵乘法中的“左行右列”原则，$A \Lambda$ 就相当于将 $A$ 的第 2 列乘以 $2$，并将 $A$ 的第 3 列乘以 $-1$:

$$
A \Lambda = \left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right] \Lambda = \left[\begin{array}{ccc}1 & 4 & -3 \\ 4 & 10 & -6 \\ 7 & 16 & -9\end{array}\right].
$$

同样的，根据矩阵乘法中的“左行右列”原则，$\Lambda A$ 就相当于将 $A$ 的第 2 行乘以 $2$，并将 $A$ 的第 3 行乘以 $-1$:

$$
\Lambda A = \Lambda \left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 8 & 10 & 12 \\ -7 & -8 & -9\end{array}\right].
$$

于是：

$$
A \Lambda – \Lambda A = \left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & -6 \\ -4 & 0 & -18 \\ 14 & 24 & 0\end{array}\right].
$$

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