一、题目
求解数列极限:
$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \tan \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}\right) = ?
$$
难度评级:
二、解析
解法 1
$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \tan \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}\right) \Rightarrow
$$
$\tan x$ 的周期为 $\pi$, 利用其周期性做恒等变形:
$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\tan \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}-n \pi\right)}{\frac{1}{n}} \Rightarrow
$$
提取公因式:
$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\tan \left[n \pi\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}-1\right)\right]}{\frac{1}{n}} \Rightarrow
$$
$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\tan \left[n \pi\left(\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}-1\right)\right]}{\frac{1}{n}} \Rightarrow
$$
利用《等价无穷小公式》作变换:
$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\tan \left[n \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n^{2}}\right]}{\frac{1}{n}} \Rightarrow
$$
$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\tan \left[\frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{n}\right]}{\frac{1}{n}} \Rightarrow
$$
再次利用《等价无穷小公式》作变换:
$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = \frac{\pi}{2}
$$
解法 2
$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \tan \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}\right)=
$$
$\tan x$ 的周期为 $\pi$, 利用其周期性做恒等变形:
$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \tan \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}-n \pi\right)=
$$
提取公因式:
$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \tan \left(n \pi \sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}-n \pi\right)=
$$
继续提取公因式:
$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \tan \left[n \pi\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}-1\right)\right]=
$$
分子有理化:
$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \tan \left[n \pi \cdot \frac{\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}-1\right)\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}+1\right)}{\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}+1}\right] \Rightarrow
$$
$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \tan \left[n \pi \cdot \frac{\frac{1}{n^{2}}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}+1}\right] \Rightarrow
$$
$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \tan \left[\frac{\frac{\pi}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}+1}\right] \Rightarrow
$$
又:
$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{\pi}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}+1} \Rightarrow \frac{0}{\infty} \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{\pi}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}+1} \rightarrow 0.
$$
于是,利用《等价无穷小公式》作变换:
$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \cdot \frac{\frac{\pi}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}+1} \Rightarrow
$$
分母部分的极限存在(而且是一个非零常数),可以直接计算出来:
$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}+1}=\frac{\pi}{2}.
$$
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