通过二元复合函数判断一元函数的极值点条件

一、题目

已知二元函数 $F(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ $=$ $0$, $F_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ $>$ $0$.

若一元函数 $y=y(x)$ 是由方程 $F(x, y)=0$ 所确定的在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 附近的隐函数，则 $x_{0}$ 是函数 $y=y(x)$ 的极小值点的一个充分条件是什么？

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二、解析

关于充分条件和必要条件的概念，我们可以参考下面的解析文章：

总体思路：

若 $x_{0}$ 是函数 $y=y(x)$ 的极小值点 $\Rightarrow$ $y^{\prime}_{x} (x_{0})$ $=$ $0$ 且 $y^{\prime \prime}_{x x} (x_{0})$ $>$ $0$.

于是，能通过“$y^{\prime}_{x} (x_{0})$ $=$ $0$ 且 $y^{\prime \prime}_{x x} (x_{0})$ $>$ $0$”这个条件推出来的结论，就是“$x_{0}$ 是函数 $y=y(x)$ 的极小值点”的充分条件。

$$
F(x, y)=0 \Rightarrow
$$

$$
[F(x, y)]_{x}^{\prime}=0 \Rightarrow
$$

$$
F_{x}^{\prime}+y_{x}^{\prime} F_{y}^{\prime}=0 \Rightarrow
$$

$$
y_{x}^{\prime}=\frac{-F_{x}^{\prime}}{F_{y}^{\prime}} \Rightarrow
$$

$$
F_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, \quad F_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0 \Rightarrow
$$

$$
y_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0
$$

于是：

$$
{\left[y_{x}^{\prime}\right]_{x}^{\prime}=\left[\frac{-F_{x}^{\prime}}{F_{y}^{\prime}}\right]_{x}^{\prime} \Rightarrow}
$$

$$
y_{x x}^{\prime \prime}=\frac{-\left(F_{x x}^{\prime \prime}+y_{x}^{\prime} F_{x y}^{\prime \prime}\right) F_{y}^{\prime}+F_{x}^{\prime}\left(F_{y x}^{\prime \prime}+y_{x}^{\prime} F_{y y}^{\prime \prime}\right)}{\left(F_{y}^{\prime}\right)^{2}}
$$

又：

$$
x=x_{0}, \quad y=y_{0} \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
& y_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \\
& F^{\prime} _{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0
\end{cases} \Rightarrow
$$

$$
y_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) = \frac{-\left(F_{x x}^{\prime \prime} F_{y}^{\prime}\right)^{\prime}}{\left(F_{y}^{\prime}\right)^{2}}
$$

$$
y_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0, \quad F_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0 \Rightarrow
$$

$$
F_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0
$$

综上可知，$F_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ 就是题目中要求解的充分条件。

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