如果一个部分无法直接被化简计算，就尝试整体代换

一、题目

已知：

$$
f(x) = x^{2} – x \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{~d} x + 2 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x
$$

则：

$$
f(x) = ?
$$

难度评级：

二、解析

$\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{~d} x$ 和 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x$ 都是数字，但是，由于函数 $f(x)$ 未知，因此，我们不能确定这两个部分的具体数值——

观察可知，只要我们确定了这两个积分的值，我们就可以求出函数 $f(x)$, 于是，求解函数 $f(x)$ 的问题，就变成了确定这两个积分数值的问题。

Next

于是，令：

$$
a = \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{~d} x.
$$

$$
b = \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x.
$$

Next

因此：

$$
f(x) = x^{2} – ax + 2b.
$$

Next

于是：

$$
a = \int_{0}^{2} (x^{2} – ax + 2b) \mathrm{~d} x \Rightarrow
$$

$$
\big( \frac{1}{3} x^{3} – \frac{a}{2} x^{2} + 2b x \big) \Big|_{0}^{2} =
$$

$$
\frac{8}{3} – 2a + 4b.
$$

Next

同样的：

$$
b = \int_{0}^{1} (x^{2} – ax + 2b) \mathrm{~d} x \Rightarrow
$$

$$
\big( \frac{1}{3} x^{3} – \frac{a}{2} x^{2} + 2b x \big) \Big|_{0}^{1} =
$$

$$
\frac{1}{3} – \frac{a}{2} + 2b.
$$

Next

即：

$$
a = \frac{8}{3} – 2a + 4b.
$$

$$
b = \frac{1}{3} – \frac{a}{2} + 2b.
$$

Next

化简得：

$$
3a = \frac{8}{3} + 4b.
$$

$$
b = \frac{a}{2} – \frac{1}{3}.
$$

Next

进而：

$$
3a = \frac{8}{3} + 2a – \frac{4}{3} \Rightarrow
$$

$$
a = \frac{4}{3}
$$

$$
b = \frac{1}{3}.
$$

Next

于是：

$$
f(x) = x^{2} – ax + 2b \Rightarrow
$$

$$
f(x) = x^{2} – \frac{4}{3} x + \frac{2}{3}.
$$

---