求解 $\sin$ 与 $\cos$ 线性组合分式积分的通用解法

一、前言

在本文中，我们将讨论形如下面这样的，由三角函数 $\sin$ 与 $\cos$ 线性组合所得的分式的积分的通用解法：

$$
\int \frac{c \sin x + d \cos x}{a \sin x + b \cos x} \mathrm{d} x
$$

其中，$a$, $b$, $c$, $d$ 为常数。

相关例题：

《加加减减，凑凑拆拆：$\int$ $\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$ $\mathrm{d} x$》

二、正文

由于

$$
\int \frac{c \sin x + d \cos x}{a \sin x + b \cos x} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int \frac{A (a \sin x + b \cos x)^{\prime} + B(a \sin x + b \cos x)}{a \sin x + b \cos x} \mathrm{d} x =
$$

$$
A \int \frac{1}{a \sin x + b \cos x} \mathrm{d} (a \sin x + b \cos x) + B \int 1 \mathrm{d} x =
$$

$$
A \ln |a \sin x + b \cos x| + B x + C.
$$

其中，$A$, $B$, $C$ 为常数。

Next

在实际计算的时候，$a$, $b$, $c$, $d$ 都是已知的，我们要做的就是确定 $A$ 和 $B$ 的值，方法如下：

$$
\int \frac{A (a \sin x + b \cos x)^{\textcolor{red}{\prime}} + B(a \sin x + b \cos x)}{a \sin x + b \cos x} \mathrm{d} x =
$$

如上，想到可以对分母 $a \sin x$ $+$ $b \cos x$ 进行 求 导 运算以凑成原来的分子，是解决此类积分的关键一步。

Next

$$
\int \frac{A (a \cos x – b \sin x) + B(a \sin x + b \cos x)}{a \sin x + b \cos x} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int \frac{(-bA + aB) \sin x + (aA + bB) \cos x}{a \sin x + b \cos x} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int \frac{c \sin x + d \cos x}{a \sin x + b \cos x} \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{matrix}
-bA + aB = c \\
aA + bB = d
\end{matrix}\right.
$$

通过上面的二元一次方程组，我们就可以确定 $A$ 和 $B$ 的值，从而解出这类积分。

Next

其实，上面的计算方法的本质就是将不能使用公式的被积函数“凑”成可以使用公式的被积函数，对于较简单的这类被积函数，我们也可以直接“凑”，例如下面这个例题：

《加加减减，凑凑拆拆：$\int$ $\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$ $\mathrm{d} x$》

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