已知 $y$ $=$ $x^{2}$ $\cos x$, 求解 $y^{(n)}$

一、题目

已知 $y$ $=$ $x^{2}$ $\cos x$, 求解 $y^{(n)}$

难度评级：

二、解析

解答本题需要首先掌握高阶导数的计算公式。

已知：

$$
(x^{2})^{\prime} = 2x,
$$

$$
(x^{2})^{\prime \prime} = 2,
$$

$$
(x^{2})^{\prime \prime \prime} = 0.
$$

Next

因此：

$y^{(n)}$ $=$ $C_{n}^{0}$ $(x^{2})^{(0)}$ $\cdot$ $(\cos x)^{(n)}$ $+$ $C_{n}^{1}$ $(x^{2})^{(1)}$ $\cdot$ $(\cos x)^{(n-1)}$ $+$ $C_{n}^{2}$ $(x^{2})^{(2)}$ $\cdot$ $(\cos x)^{(n-2)}$ $\Rightarrow$

Next

$y^{(n)}$ $=$ $C_{n}^{0}$ $\cdot$ $x^{2}$ $\cdot$ $(\cos x)^{(n)}$ $+$ $C_{n}^{1}$ $\cdot$ $2x$ $\cdot$ $(\cos x)^{(n-1)}$ $+$ $C_{n}^{2}$ $\cdot$ $2$ $\cdot$ $(\cos x)^{(n-2)}$ $\Rightarrow$

Next

$y^{(n)}$ $=$ $1$ $\cdot$ $x^{2}$ $\cdot$ $(\cos x)^{(n)}$ $+$ $n$ $\cdot$ $2x$ $\cdot$ $(\cos x)^{(n-1)}$ $+$ $\frac{n(n-1)}{2 \times 1}$ $\cdot$ $2$ $\cdot$ $(\cos x)^{(n-2)}$ $\Rightarrow$

Next

$y^{(n)}$ $=$ $x^{2}$ $\cdot$ $(\cos x)^{(n)}$ $+$ $2xn$ $\cdot$ $(\cos x)^{(n-1)}$ $+$ $n(n-1)$ $\cdot$ $(\cos x)^{(n-2)}$ $\Rightarrow$

Next

$y^{(n)}$ $=$ $x^{2}$ $\cdot$ $\cos \big[ x + (n \cdot \frac{\pi}{2}) \big]$ $+$ $2xn$ $\cdot$ $\cos \big[ x + (n-1) \cdot \frac{\pi}{2} \big]$ $+$ $n(n-1)$ $\cdot$ $\cos \big[ x + (n-2) \cdot \frac{\pi}{2} \big]$.

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