将 $e^{x}$ $-$ $1$ 和 $a^{x}$ $-$ $1$ 的等价无穷小结合记忆

一、前言 前言 - 荒原之梦

在高等数学中,有些公式在本质上是有联系的,如果我们在掌握了这种联系的基础上理解这些公式,就能记忆得更加牢固。

在本文中,荒原之梦网(zhaokaifeng.com)就利用公式间的关联关系分析如何记忆 $e^{x}$ $-$ $1$ 和 $a^{x}$ $-$ $1$ 的等价无穷小。

二、正文 正文 - 荒原之梦

我们都知道,当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时,有:

$$
e^{x} – 1 \sim x
$$

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但事实上,上式应该是:

$$
e^{x} – 1 \sim x \ln e \quad ①
$$

$\ln e$ $=$ $1$.

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进而,如果将 $①$ 式中的自然常数 $e$ 换成普通实数 $a$, 也是成立的:

$$
a^{x} – 1 \sim x \ln a
$$

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综上,我们可以使用结合记忆的方法一次记住如下两个等价无穷小公式:

$$
e^{x} – 1 \sim x \ln e \sim x.
$$

$$
a^{x} – 1 \sim x \ln a
$$


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