计算微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $y^{\prime}$ $-$ $2 y$ $=$ $(6x + 2) e^{x}$ 满足指定条件的特解

一、题目

方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $y^{\prime}$ $-$ $2 y$ $=$ $(6x + 2) e^{x}$ 满足条件 $y(0)$ $=$ $3$, $y^{\prime}(0)$ $=$ $0$ 的特解 $y^{*}$ $=$ $?$

二、解析

解答本题所需的公式，可以参考：特征方程 、齐次微分方程的通解 、非齐次微分方程的特解 、非齐次微分方程的通解

由题可知，题目中的方程 $\textcolor{cyan}{y^{\prime \prime}}$ $\textcolor{cyan}{+}$ $\textcolor{cyan}{y^{\prime}}$ $\textcolor{cyan}{-}$ $\textcolor{cyan}{2 y}$ $\textcolor{cyan}{=}$ $\textcolor{cyan}{(6x + 2) e^{x}}$ 是一个 二阶常系数线性非齐次微分方程 ，右端项为：$\textcolor{cyan}{(6x + 2) e^{x}}$

求解此类 微分方程满足特定条件的特解的 步骤 大致为：

写出特征方程 求出特征值 写出对应的齐次微分方程的通解的形式 设出特解的形式 将特解代入原式中 求出特解 齐次微分方程的通解 + 非齐次微分方程的特解组合得出非齐次微分方程的通解 带入题中所给的条件 得出满足特定条件的微分方程的特解

首先，题目中所给的微分方程对应的 特征方程为 ：

$$
\textcolor{orange}{
\lambda^{2} + \lambda – 2 = 0} \Rightarrow
$$

$$
\lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{\lambda_{1} = -2, \lambda_{2} = 1} \quad \textcolor{tan}{①}
$$

从上面得出的特征方程的特征根，我们可以分别确定题目所给的非齐次微分方程对应的齐次微分方程的通解的形式以及该非齐次微分方程的特解的形式，如下。

Next

确定对应的齐次微分方程的通解的形式 ：

由于 $\lambda_{1}$ $\neq$ $\lambda_{2}$, 为互异的实根，因此，对应的齐次微分方程的通解 的形式为：

$$
\textcolor{orange}{
Y(x) = C_{1} e^{- 2 x} + C_{2} e^{x}} \quad \textcolor{tan}{②}
$$

其中，$C_{1}$ 和 $C_{2}$ 为任意常数。

确定该非齐次微分方程的特解的形式 ：

由于该非齐次微分方程的右端项为：

$$
(6x + 2) e^{x}
$$

因此，设该 非齐次微分方程的特解的形式为 ：

$$
\textcolor{cyan}{
y^{\top} = x^{k} (Ax + B) e^{\mu x}
}.
$$

接着，由右端项中的 $e^{x}$ 且 $e^{\mu x}$ $=$ $e^{x}$ 可知 ：

$$
\textcolor{cyan}{
\mu = 1}.
$$

又由于 $\lambda_{2}$ $=$ $1$ $=$ $\mu$, 因此，$\mu$ 是特征方程的单特征根（“其中 $1$ 特征根”），于是 ：

$$
\textcolor{cyan}{
k = 1}.
$$

从而可知，该 非齐次微分方程的特解的形式为 ：

$$
y^{\top} = x (Ax + B) e^{x} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
y^{\top} = (Ax^{2} + Bx) \cdot e^{x}} \quad \textcolor{tan}{③}
$$

其中，$A$ 和 $B$ 为任意常数。

Next

于是 ：

$$
\textcolor{orange}{
(y^{\top})^{\prime}} =
$$

$$
[(Ax^{2} + Bx) \cdot e^{x}]^{\prime} =
$$

$$
(2Ax + B) \cdot e^{x} + (Ax^{2} + Bx) \cdot e^{x} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
(y^{\top})^{\prime} = [Ax^{2} + (2A + B)x + B] \cdot e^{x}
} \quad \textcolor{tan}{④}
$$

Next

$$
\textcolor{orange}{
(y^{\top})^{\prime \prime}} =
$$

$$
[(Ax^{2} + Bx) \cdot e^{x}]^{\prime \prime} =
$$

$$
\Big \{ [Ax^{2} + (2A + B)x + B] \cdot e^{x} \Big \}^{\prime} =
$$

$$
(2 A x + 2A + B) \cdot e^{x} + [Ax^{2} + (2A + B)x + B] \cdot e^{x} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
(y^{\top})^{\prime \prime} = [Ax^{2} + (4A + B)x + 2A + 2B] \cdot e^{x}} \quad \textcolor{tan}{⑤}
$$

Next

将 $\textcolor{orange}{y}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{y^{\top}}$, $\textcolor{orange}{y^{\prime}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{(y^{\top})^{\prime}}$ 和 $\textcolor{orange}{y^{\prime \prime}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{(y^{\top})^{\prime \prime}}$ 带入微分方程 $\textcolor{cyan}{y^{\prime \prime}}$ $\textcolor{cyan}{+}$ $\textcolor{cyan}{y^{\prime}}$ $\textcolor{cyan}{-}$ $\textcolor{cyan}{2 y}$ $\textcolor{cyan}{=}$ $\textcolor{cyan}{(6x + 2) e^{x}}$, 得 ：

$$
[Ax^{2} + (4A + B)x + 2A + 2B] \cdot e^{x} +
$$

$$
[Ax^{2} + (2A + B)x + B] \cdot e^{x} –
$$

$$
2 (Ax^{2} + Bx) \cdot e^{x} = (6x + 2) e^{x} \Rightarrow
$$

Next

$$
[Ax^{2} + (4A + B)x + 2A + 2B] +
$$

$$
[Ax^{2} + (2A + B)x + B] –
$$

$$
2 (Ax^{2} + Bx) = (6x + 2) \Rightarrow
$$

Next

$$
2 A x^{2} + (6A + 2B)x + 2A + 3B – 2 Ax^{2} – 2 Bx
$$

$$
= (6x + 2) \Rightarrow
$$

Next

$$
6 A x + 2 A + 3 B = (6x + 2)\Rightarrow
$$

$$
6A = 6, 2A + 3B = 2 \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
A = 1, B = 0}.
$$

Next

于是，该 非齐次 微分方程的 特解 为：

$$
\textcolor{orange}{
y^{\top} = x^{2} e^{x}
} \quad \textcolor{tan}{⑥}
$$

从而，该 非齐次 微分方程的 通解 为：

$$
y = Y + y^{\top} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
y = C_{1} e^{- 2 x} + C_{2} e^{x} + x^{2} e^{x}}. \quad \textcolor{tan}{⑦}
$$

Next

进而 ：

$$
y^{\prime} = -2C_{1} e^{-2 x} + C_{2} e^{x} + 2x e^{x} + x^{2} e^{x}.
$$

又由题目中的条件可知，当 $x$ $=$ $0$ 时，$y$ $=$ $3$, $y^{\prime}$ $=$ $0$, 因此：

$$
\textcolor{orange}{
3 = C_{1} + C_{2}} \quad \textcolor{tan}{⑧}
$$

$$
\textcolor{orange}{
0 = -2 C_{1} + C_{2}
} \quad \textcolor{tan}{⑨}
$$

联立 $\textcolor{tan}{⑧}$ 和 $\textcolor{tan}{⑨}$ 两式，可得：

$$
\textcolor{orange}{
C_{1} = 1, C_{2} = 2}.
$$

Next

从而，该 非齐次微分方程 满足 指定条件 的 特解 为：

$$
y = Y + y^{*} \Rightarrow 指定条件 \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{red}{
y^{*} = e^{- 2 x} + 2 e^{x} + x^{2} e^{x}} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{red}{
y^{*} = (2 + x^{2}) e^{x} + e^{- 2 x}}.
$$

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