齐次微分方程的转化(B028)

问题

若令 $u$ $=$ $\frac{y}{x}$, 则齐次方程 $y^{\prime}$ $=$ $f (\frac{y}{x} )$ 可以转化成什么?

选项

[A].   $\int \frac{\mathrm{d} u}{f(u)+u}$ $=$ $\ln |x|$ $+$ $C$

[B].   $\frac{\mathrm{d} u}{f(u)-u}$ $=$ $\int$ $\ln |x|$ $+$ $C$

[C].   $\frac{\mathrm{d} u}{f(u)-u}$ $=$ $\ln |x|$ $+$ $C$

[D].   $\int \frac{\mathrm{d} u}{f(u)-u}$ $=$ $\ln |x|$ $+$ $C$



显示答案

令 $u$ $=$ $\frac{y}{x}$, 则 $y$ $=$ $u x$, $y^{\prime}$ $=$ $u$ $+$ $x$ $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$, 于是原方程可化为:

$u$ $+$ $x$ $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$ $=$ $f(u)$ $\Rightarrow$

$\frac{\mathrm{d} u}{f(u)-u}$ $=$ $\frac{\mathrm{d} x}{x}$ $\Rightarrow$

$\int \frac{\mathrm{d} u}{f(u)-u}$ $=$ $\ln |x|$ $+$ $C$

求出积分后, 再用 $\frac{y}{x}$ 代替 $u$, 便得所给齐次方程的通解.