利用偶延拓计算 $[0, \pi]$ 上非周期函数的傅里叶系数:$a_{n}$(B027)

问题

已知函数 $f(x)$ 为 $[0, \pi]$ 上的非周期函数,并且,其基于偶延拓的傅里叶展开式为:

$f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos n x$.

那么,上述式子中的傅里叶系数 $a_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].   $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$

[B].   $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos x$ $\mathrm{~d} x$

[C].   $a_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$

[D].   $a_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$



显示答案

$a_{n}$ $=$ $\frac{2}{\pi}$ $\int_{0}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$, 其中 $($ $n$ $=$ $0$, $1$, $2$, $\cdots$ $)$