无穷限反常积分的比阶审敛法(B007)

问题

为了方便描述和练习,我们在这里令:
$\textcolor{Orange}{F}$ $=$ $\int_{a}^{+\infty}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\mathrm{d} x$
$\textcolor{Red}{G}$ $=$ $\int_{a}^{+\infty}$ $\textcolor{Red}{g(x)}$ $\mathrm{d} x$

若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a, +\infty)$ 内的任意有限区间上可积,$f(x)$ 和 $g(x)$ 均非负,且 $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $\frac{\textcolor{Orange}{f(x)}}{\textcolor{Red}{g(x)}}$ $=$ $\lambda$, 则以下选项中,正确的是哪个?

选项

[A].   
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时,$F$ 和 $G$ 敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时,$G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时,$F$ 发散则 $G$ 发散


[B].   
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时,$F$ 和 $G$ 敛散性相反
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时,$G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时,$F$ 收敛则 $G$ 收敛


[C].   
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时,$F$ 和 $G$ 敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时,$G$ 收敛则 $F$ 收敛
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时,$F$ 收敛则 $G$ 收敛


[D].   
当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时,$F$ 和 $G$ 敛散性相同
当 $\lambda$ $=$ $0$ 时,$G$ 收敛则 $F$ 发散
当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时,$F$ 收敛则 $G$ 收敛



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(1)当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时,$\textcolor{Orange}{F}$ 和 $\textcolor{Red}{G}$ 敛散性相同 $\Rightarrow$ 若 $\lambda$ 为不等于 $0$ 的常数,则表明 $\textcolor{Orange}{F}$ 和 $\textcolor{Red}{G}$ 在大小上并没有产生不同级别的差距,因此具有相同的敛散性.

(2)当 $\lambda$ $=$ $0$ 时,$\textcolor{Red}{G}$ 收敛则 $\textcolor{Orange}{F}$ 收敛 $\Rightarrow$ 若 $\lambda$ $=$ $0$, 则表明 $\textcolor{Orange}{F}$ 远小于 $\textcolor{Red}{G}$, 由于“大收小必收”,于是可知,较大的 $\textcolor{Red}{G}$ 收敛就意味着较小的 $\textcolor{Orange}{F}$ 也一定收敛.

(3)当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时,$\textcolor{Orange}{F}$ 收敛则 $\textcolor{Red}{G}$ 收敛 $\Rightarrow$ 若 $\lambda$ $=$ $\infty$, 则表明 $\textcolor{Orange}{F}$ 远大于 $\textcolor{Red}{G}$, 由于“小发大必发”,于是可知,较小的 $\textcolor{Red}{G}$ 发散就意味着较大的 $\textcolor{Orange}{F}$ 也一定发散.