自然对数的底数 $e$

自然对数的指数 e | 荒原之梦
图 01. 图中的曲线表示 $y$ $=$ $\frac{1}{x}$, 浅蓝色区域则是由曲线 $y$, $X$ 轴和 $x$ $=$ $1$, $x$ $=$ $e$ 围成的,由于积分 $\int_{1}^{e}$ $\frac{1}{x}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $1$, 因此,图中浅蓝色区域的面积刚好为 $1$.
By Cronholm144 at English Wikipedia, CC BY-SA 3.0.

自然对数的底数 $e$, 有时也被称为“自然常数”或“自然底数”。

$e$ 是一个无限不循环的无理小数:

$$
e = 2.71828182845904523536 \cdots
$$

对 $e$ 的计算公式有多种,例如:

$$
e =
$$

$$
\lim_{n \to \infty} \left(1 + {\frac{1}{n}}\right)^{n}.
$$

或者:

$$
e =
$$

$$
\lim _{t\to 0}(1+t)^{\frac {1}{t}}.
$$

或者:

$$
e =
$$

$$
\sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + \cdots
$$

在平时使用的时候,$e$ 最常出现的场景就是作为自然对数的底数:

$$
\log_{e} \Leftrightarrow \ln.
$$

或者作为一个特殊的指数函数出现:

$$
y = e^{x}.
$$


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