2016年考研数二第23题解析:相似对角化、特征值、特征向量、线性表示 题目 编号:A2016223 已知矩阵 A=[0−112−30000]. Ⅰ(Ⅰ) 求 A99; Ⅱ(Ⅱ) 设 3 阶矩阵 B=(α1,α2,α3) 满足 B2=BA. 记 B100=(β1,β2,β3), 将 β1, β2, β3 分别表示为 α1, α2, α3 的线性组合. 解析 第 Ⅰ(Ⅰ) 问 第 Ⅰ(Ⅰ) 问要求解 A99, 很显然,我们不能真的做 99 次矩阵 A 与矩阵 A 的乘法运算,而且,矩阵 A 也不可能在进行少数几次与自己的乘法运算之后就变成零矩阵或单位矩阵等特殊矩阵,因此,我们只能借助于矩阵的 A 的相似对角矩阵来求解 A99. 由题可知: |λE–A|=0⇒ ①[λ1−1−2λ+3000λ]=0.①⇒ λ2(λ+3)+2λ=0⇒ λ[λ(λ+3)+2]=0⇒ λ(λ2+3λ+2)=0⇒ {λ1=0;λ2=−1;λ3=−2. 又由 (λiE–A)x=O 可知: 当 λ1=0 时,由上面的 ①① 式可得: λ1E–A⇒ [λ11−1−2λ1+3000λ1]⇒ [01−1−230000]⇒[01−1−203000]⇒ X1=[3211]⇒[322]. 当 λ2=−1 时,由上面的 ①① 式可得: λ2E–A⇒ [λ21−1−2λ2+3000λ2]⇒ [−11−1−22000−1]⇒[1−1100−2000]⇒ X2=[110]. 当 λ3=−2 时,由上面的 ①① 式可得: λ3E–A⇒ [λ31−1−2λ3+3000λ3]⇒ [−21−1−21000−2]⇒[−21−1001000]⇒ X3=[1210]⇒[120]. 综上,若令 P=(X1,X2,X3)= [311212200], Λ=[λ1λ2λ3]= [0−1−2], 则: P−1AP=Λ⇒ A=PΛP−1. 又: (P⋮E)⇒ [311⋮100212⋮010200⋮001]⇒ (E⋮P−1)=[100⋮0012010⋮2−1−2001⋮−1112]. 接着: A=PΛP−1⇒ A99=(PΛP−1)99⇒ 个A99=(PΛP−1)(PΛP−1)⋯(PΛP−1)⋯99个PΛP−1⇒ 个A99=PΛ(P−1P)Λ(P−1⋯P)ΛP−1⋯99个PΛP−1⇒ A99=PΛ99P−1. 于是: A99= [311212200][0(−1)99(−2)99][00122−1−2−1112.]⇒ [311212200][0−1−299][00122−1−2−1112.]⇒ [0−1−2990−1−2100000][00122−1−2−1112.]⇒ [−2+2991−2992−298−2+21001−21002−299000]. 第 Ⅱ(Ⅱ) 问 由题可知: B2=BA⇒ B100=B98B2⇒ B100=B98BA⇒ B100=B99A⇒ B100=B97B2A⇒ B100=B97BAA⇒ B100=B98A2⇒ ⋯⋯ B100=BA99⇒ B100=(α1,α2,α3)A99⇒ (β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)A99⇒ (β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)[−2+2991−2992−298−2+21001−21002−299000]⇒ {β1=(−2+299)α1+(−2+2100)α2+0α3;β2=(1−299)α1+(1−2100)α2+0α3;β3=(2−298)α1+(2−299)α2+0α3. 相关文章: 2011年考研数二第22题解析:线性相关、线性表示、秩、可逆矩阵 2017年考研数二第07题解析 2018年考研数二第23题解析:矩阵的秩、非齐次线性方程组、可逆矩阵 2014年考研数二第23题解析:矩阵相似性、矩阵相似对角化 2014年考研数二第22题解析:齐次与非齐次线性方程组求解 2012年考研数二第07题解析 2014年考研数二第08题解析 2017年考研数二第22题解析:特征值、基础解系、非齐次线性方程组 2017年考研数二第23题解析:二次型、标准型、特征值与特征向量 2011年考研数二第08题解析 2012年考研数二第22题解析:行列式的按行(列)展开定理、非齐次线性方程组求解 2018年考研数二第14题解析 2013年考研数二第22题解析:矩阵、非齐次线性方程组求解 2011年考研数二第23题解析:实对称矩阵、特征值和特征向量、向量正交运算 2015年考研数二第22题解析:矩阵、逆矩阵 2016年考研数二第22题解析:非齐次线性方程组、增广矩阵 2012年考研数二第23题解析:二次型基础、二次型化为标准型、秩 2015年考研数二第23题解析:相似矩阵、矩阵的相似对角化 什么是极大无关组? 常数公因子 k 在行列式中的处理方式(C001) 2013年考研数二第23题解析:二次型、二次型的标准型 2018年考研数二第07题解析 2018年考研数二第22题解析:二次型、齐次线性方程组、二次型的规范型 2012 年研究生入学考试数学一选择题第 5 题解析 向量组线性无关的充要条件:所形成的矩阵的秩(C017)