2016年考研数二第23题解析:相似对角化、特征值、特征向量、线性表示

题目

编号:A2016223

已知矩阵 A=[011230000].

()A99;

()3 阶矩阵 B=(α1,α2,α3) 满足 B2=BA. 记 B100=(β1,β2,β3), 将 β1, β2, β3 分别表示为 α1, α2, α3 的线性组合.

解析

()

() 问要求解 A99, 很显然,我们不能真的做 99 次矩阵 A 与矩阵 A 的乘法运算,而且,矩阵 A 也不可能在进行少数几次与自己的乘法运算之后就变成零矩阵或单位矩阵等特殊矩阵,因此,我们只能借助于矩阵的 A 的相似对角矩阵来求解 A99.

由题可知:

|λEA|=0

[λ112λ+3000λ]=0.

λ2(λ+3)+2λ=0

λ[λ(λ+3)+2]=0

λ(λ2+3λ+2)=0

{λ1=0;λ2=1;λ3=2.

又由 (λiEA)x=O 可知:

λ1=0 时,由上面的 式可得:

λ1EA

[λ1112λ1+3000λ1]

[011230000][011203000]

X1=[3211][322].

λ2=1 时,由上面的 式可得:

λ2EA

[λ2112λ2+3000λ2]

[111220001][111002000]

X2=[110].

λ3=2 时,由上面的 式可得:

λ3EA

[λ3112λ3+3000λ3]

[211210002][211001000]

X3=[1210][120].

综上,若令 P=(X1,X2,X3)= [311212200], Λ=[λ1λ2λ3]= [012], 则:

P1AP=Λ

A=PΛP1.

又:

(PE)

[311100212010200001]

(EP1)=[10000120102120011112].

接着:

A=PΛP1

A99=(PΛP1)99

A99=(PΛP1)(PΛP1)(PΛP1)99PΛP1

A99=PΛ(P1P)Λ(P1P)ΛP199PΛP1

A99=PΛ99P1.

于是:

A99=

[311212200][0(1)99(2)99][00122121112.]

[311212200][01299][00122121112.]

[01299012100000][00122121112.]

[2+299129922982+2100121002299000].

()

由题可知:

B2=BA

B100=B98B2

B100=B98BA

B100=B99A

B100=B97B2A

B100=B97BAA

B100=B98A2

B100=BA99

B100=(α1,α2,α3)A99

(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)A99

(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)[2+299129922982+2100121002299000]

{β1=(2+299)α1+(2+2100)α2+0α3;β2=(1299)α1+(12100)α2+0α3;β3=(2298)α1+(2299)α2+0α3.


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