题目
已知函数 $f(x,y)$ 满足：
$$
f_{xy}^{”}(x,y) = 2(y+1)e^{x},
$$
$$
f_{x}^{‘}(x,0) = (x+1)e^{x},
$$
$$
f(0,y) = y^{2} + 2y.
$$
求 $f(x,y)$ 的极值.
解析
由题可知：
$$
f_{x}^{‘} (x,y) =
$$
$$
\int f_{xy}^{”}(x,y) dy =
$$
$$
\int 2(y+1)e^{x} dy =
$$
$$
2 e^{x} \int (y+1) dy =
$$
$$
2 e^{x} [\int y dy+ \int 1 dy] =
$$
$$
e^{x} (y^{2} + 2y) + \phi (x).
$$
注：
[1]. 对 $\int (y+1) dy$ 采取不同的计算方式会得到看上去不同的计算结果，但这并不影响我们对本题的计算，具体分析可以参考：《$y+1$ 或 $x+1$ 的积分怎么算？》；
[2]. 在对变量 $y$ 计算积分的时候，只包含变量 $x$ 的函数 $\phi(x)$ 应被视为常数。
将 $y=0$ 代入 $f_{x}^{‘} (x,y)$, 得：
$$
f_{x}^{‘} (x,0) = \phi(x).
$$
又由 $f_{x}^{‘}(x,0) =$ $(x+1)e^{x}$ 可知：
$$
\phi(x) = (x+1)e^{x}.
$$
于是：
$$
f_{x}^{‘} (x,y) =
$$
$$
e^{x} (y^{2} + 2y) + (x+1)e^{x}.
$$
接着：
$$
f(x,y) =
$$
$$
\int f_{x}^{‘}(x,y) dx =
$$
$$
(y^{2} + 2y) \int e^{x} dx + \int (x+1)e^{x} dx =
$$
$$
(y^{2} + 2y) e^{x} + xe^{x}.
$$
注：
[1]. 在本题中，不能通过对 $f_{x}^{‘}(x,0)$ 中的变量 $x$ 求积分的方式求解 $f(x,y)$, 因为：
$\int f_{x}^{‘}(x,0) dx = f(x,0)$;
$\int f_{x}^{‘}(x,0) dx \neq f(x,y)$.
同时，$f(x,y) \neq$ $f(x,0) + f(0,y)$, 因为，当 $y=0$ 或 $x=0$ 时，同时包含变量 $y$ 和 $x$ 的式子就会变成 $0$, 从而无法在函数 $f(x,0)$ 或 $f(0,y)$ 中体现出来，根据题目所给线索，我们并不能排除这种情况的存在。
于是，有：
$$
f_{x}^{‘} (x,y) =
$$
$$
e^{x} (y^{2} + 2y) + (x+1)e^{x}.
$$
$$
f_{y}^{‘}(x,y) =
$$
$$
e^{x} (2y+2).
$$
令 $f_{y}^{”}(x,y) = 0$, 可得：
$$
y_{o}=-1.
$$
令 $f_{x}^{‘} (x,y) = 0$ 且 $y_{o}=-1$, 可得：
$$
x_{o} = 0.
$$
又：
$$
A =
$$
$$
f_{xx}^{”}(x,y) =
$$
$$
(y^{2} + 2y)e^{x} + e^{x} + (x+1)e^{x}.
$$
$$
B =
$$
$$
f_{xy}^{”}(x,y) =
$$
$$
2(y+1)e^{x}.
$$
$$
C =
$$
$$
f_{yy}^{”}(x,y) =
$$
$$
2e^{x}.
$$
将 $(0,-1)$ 代入到上面的 $A$, $B$, $C$ 三个式子中，可得：
$$
A = 1; B = 0; C = 2.
$$
于是：
$$
AC-B^{2} = 2 > 0.
$$
即函数 $f(x,y)$ 的极值是存在的。
又由 $A > 0$ 可知，函数 $f(x,y)$ 有极小值，且极小值为：
$$
f(0,1) = -1.
$$