$y+1$ 或 $x+1$ 的积分怎么算？

根据不同的计算思路，$\int (y+1)dy$ 或 $\int (x+1)dx$ 会呈现出两种看上去“不同”的计算结果，本文将以 $\int (y+1)dy$ 为例，对这一现象进行分析。

对 $y+1$ 进行积分的具体应用案例，可以参考：《2015年考研数二第17题解析》

计算方式一

$$\int (y+1)dy\Rightarrow$$

$$\int (y+1)d(y+1)\Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}(y+1{)}^2+C_1\Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}(y^2+1+2y)+C_1\Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}(y^2+2y)+\frac{1}{2}+C_1.\mathrm{①}$$

其中，$C_1$ 为任意常数。

计算方式二

$$\int (y+1)dy\Rightarrow$$

$$\int ydy+\int 1dy\Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}{y}^2+y+C_2.\mathrm{②}$$

其中，$C_2$ 为任意常数。

总结

对比上述两种计算方式，得到的 $\mathrm{①}$ 式和 $\mathrm{②}$ 式：

$$\mathrm{①}:\frac{1}{2}(y^2+2y)+\frac{1}{2}+C_1.$$

$$\mathrm{②}:\frac{1}{2}{y}^2+y+C_2.$$

可知：

$$C_2=C_1+\frac{1}{2}.$$

也就是说，上述两种计算方式所得的计算结果看上去不同的原因就是，积分结果后面跟的“任意常数”不同。