2012年考研数二第19题解析:一阶线性微分方程、拐点

题目

已知函数 f(x) 满足方程 f(x)+f(x)2f(x)=0f(x)+f(x)=2ex.

()f(x) 的表达式;

() 求曲线 y=f(x2)0xf(t2)dt 的拐点。

解析

()

由于函数 f(x) 同时满足了两个方程,因此,我们首先要做的就是将这两个方程联立整合:

{f(x)+f(x)2f(x)=0;f(x)+f(x)=2ex.

f(x)3f(x)=2ex.

于是,根据一阶线性微分方程的求解公式可知:

f(x)3f(x)=2ex

f(x)=[(2ex)e3dxdx+C]e3dx

f(x)=[(2ex)e3xdx+C]e3x

f(x)=[(2)e2xdx+C]e3x

f(x)=[(2)(12)e2x+C]e3x

f(x)=(e2x+C)e3x

f(x)=Ce3x+ex.

f(x)=Ce3x+ex 带入 f(x)+f(x)=2ex, 得:

(Ce3x+ex)+Ce3x+ex=2ex

(3Ce3x+ex)+Ce3x+ex=2ex

(9Ce3x+ex)+Ce3x+ex=2ex

10Ce3x+2ex=2ex

10Ce3x=0

C=0.

于是:

f(x)=ex.

()

由题知:

y=f(x2)0xf(t2)dt

y=ex20xet2dt.

由于形如 “ex2dx” 的积分是积不出原函数的,因此,我们不能通过求解积分的形式对上面的 式进行进一步的化简。

于是,接下来我们只能利用拐点的性质找拐点:一个函数的拐点就是这个函数的二阶导函数值的正负发生改变的点。

又:

y=2xex20xet2dt+ex2ex2

y=2xex20xet2dt+1.

y=(2xex20xet2dt+1)

y=2(xex20xet2dt)

y=2[ex20xet2dt+x(ex20xet2dt)]

y=2[ex20xet2dt+x(y)]

y=2[ex20xet2dt+xy]

y=2[ex20xet2dt+x(2xex20xet2dt+1)]

y=2(ex20xet2dt+2x2ex20xet2dt+x)

y=2(ex20xet2dt+2x2ex20xet2dt)+2x

y=2ex2(0xet2dt+2x20xet2dt)+2x

y=2ex20xet2dt(1+2x2)+2x

y=2ex2(1+2x2)0xet2dt+2x.

于是,由 式可知:

x<0 时,y<0;

x>0 时,y>0.

而且,当 x=0 时,y=0.

于是,点 (0,0) 为曲线 y=f(x2)0xf(t2)dt 的拐点。

注:

[1]. 当我们考虑 x<0 的情况时,可以令 x=1 并代入到上面的 式中,考虑 x>0 的情况时同理可令 x=1;

[2]. 由于 y=ex 的函数图像始终是位于 x 轴上方的,因此,结合定积分的性质可知:01et2dt>0, 01et2dt<0.


荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress