题目
求函数 $f(x,y) = xe^{- \frac{x^{2}+y^{2}}{2}}$ 的极值。
解析
令：
$$
f_{x}^{‘} = e^{- \frac{x^{2}+y^{2}}{2}} – x^{2} e^{- \frac{x^{2}+y^{2}}{2}} \Rightarrow
$$
$$
f_{x}^{‘} = (1-x^{2}) e^{- \frac{x^{2}+y^{2}}{2}} = 0. ①
$$
$$
f_{y}^{‘} = -xy e^{- \frac{x^{2}+y^{2}}{2}} = 0. ②
$$
联立 $①$, $②$ 式，得：
$$
x = 1, y = 0;
$$
或：
$$
x = -1, y = 0.
$$
又：
$$
f_{xx}^{”} = -2x e^{- \frac{x^{2}+y^{2}}{2}} – x(1-x^{2})e^{- \frac{x^{2}+y^{2}}{2}} \Rightarrow
$$
$$
f_{xx}^{”} = (x^{3} – 3x) e^{- \frac{x^{2}+y^{2}}{2}}.
$$
$$
f_{xy}^{”} = -y(1-x^{2}) e^{- \frac{x^{2}+y^{2}}{2}} \Rightarrow
$$
$$
f_{xy}^{”} = y(x^{2}-1)e^{- \frac{x^{2}+y^{2}}{2}}.
$$
$$
f_{yy}^{”} = -x e^{- \frac{x^{2}+y^{2}}{2}} + xy^{2}e^{- \frac{x^{2}+y^{2}}{2}} \Rightarrow
$$
$$
f_{yy}^{”} = (xy^{2} – x) e^{- \frac{x^{2}+y^{2}}{2}}.
$$
于是，当 $x = 1$, $y=0$ 时：
$$
A = f_{xx}^{”}(1,0) = -2 e^{-\frac{1}{2}};
$$
$$
B = f_{xy}^{”}(1,0) = 0;
$$
$$
C = f_{yy}^{”}(1,0) = -e^{-\frac{1}{2}}.
$$
进而，有：
$$
AC-B^{2} = 2e^{-1} – 0 > 0.
$$
又有：
$$
A = -2e^{-\frac{1}{2}} < 0.
$$
即，点 $(1,0)$ 为函数 $f(x,y)$ 的极大值点，且极大值为 $f(1,0) = e^{-\frac{1}{2}}$.
同理，当 $x=-1$, $y=0$ 时：
$$
A = f_{xx}^{”}(-1,0) = 2e^{-\frac{1}{2}};
$$
$$
B = f_{xy}^{”}(-1,0) = 0;
$$
$$
C = f_{yy}^{”}(-1,0) = e^{-\frac{1}{2}}.
$$
进而，有：
$$
AC-B^{2} = 2e^{-1} – 0 > 0.
$$
又有：
$$
A = 2 e^{-\frac{1}{2}} > 0.
$$
即，点 $(-1,0)$ 为函数 $f(x,y)$ 的极小值点，且极小值为 $f(-1,0) = -e^{-\frac{1}{2}}$.