2012年考研数二第16题解析:二维(二元)函数求偏导与极值

题目

求函数 f(x,y)=xex2+y22 的极值。

解析

令:

fx=ex2+y22x2ex2+y22

fx=(1x2)ex2+y22=0.

fy=xyex2+y22=0.

联立 , 式,得:

x=1,y=0;

或:

x=1,y=0.

又:

fxx=2xex2+y22x(1x2)ex2+y22

fxx=(x33x)ex2+y22.

fxy=y(1x2)ex2+y22

fxy=y(x21)ex2+y22.

fyy=xex2+y22+xy2ex2+y22

fyy=(xy2x)ex2+y22.

于是,当 x=1, y=0 时:

A=fxx(1,0)=2e12;

B=fxy(1,0)=0;

C=fyy(1,0)=e12.

进而,有:

ACB2=2e10>0.

又有:

A=2e12<0.

即,点 (1,0) 为函数 f(x,y) 的极大值点,且极大值为 f(1,0)=e12.

同理,当 x=1, y=0 时:

A=fxx(1,0)=2e12;

B=fxy(1,0)=0;

C=fyy(1,0)=e12.

进而,有:

ACB2=2e10>0.

又有:

A=2e12>0.

即,点 (1,0) 为函数 f(x,y) 的极小值点,且极小值为 f(1,0)=e12.


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