2011年考研数二第23题解析:实对称矩阵、特征值和特征向量、向量正交运算

题目

设 $A$ 为三阶实对称矩阵,$A$ 的秩为 $2$, 且:

$$
A \begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 0\\
-1 & 1
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
-1 & 1\\
0 & 0\\
1 & 1
\end{bmatrix}.
$$

$(Ⅰ)$ 求 $A$ 的所有特征值与特征向量

$(Ⅱ)$ 求矩阵 $A$.

解析

第 $(Ⅰ)$ 问

由于:

$$
r(A) = 2 < 3.
$$

因此:

$$
|A| = 0
$$

若设矩阵 $A$ 的特征值分别为:

$$
\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}.
$$

则有:

$$
\lambda_{1} \cdot \lambda_{2} \cdot \lambda_{3} = |A| = 0.
$$

于是可知,至少存在 $\lambda_{3} = 0$ 为矩阵 $A$ 的其中一个特征值。

又由题知:

$$
A\begin{bmatrix}
1\\
0\\
-1
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
-1\\
0\\
1
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$

$$
A\begin{bmatrix}
1\\
0\\
-1
\end{bmatrix}
=(-1) \cdot \begin{bmatrix}
1\\
0\\
-1
\end{bmatrix}.
$$

$$
A\begin{bmatrix}
1\\
0\\
1
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
1\\
0\\
1
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$

$$
A\begin{bmatrix}
1\\
0\\
1
\end{bmatrix}
=(1) \cdot \begin{bmatrix}
1\\
0\\
1
\end{bmatrix}.
$$

于是可知:

$\lambda_{1} = -1$ 为矩阵 $A$ 的一个特征值,对应的特征向量为:$(1,0,-1)^{\top}$;

$\lambda_{2} = 1$ 为矩阵 $A$ 的另一个特征值,对应的特征向量为:$(1,0,1)^{\top}$.

在这里,我们可以设矩阵 $A$ 的第三个特征值 $\lambda_{3} = 0$ 对应的特征向量为 $(a,b,c)^{\top}$.

又因为,对于实对称矩阵而言,不同特征值对应的特征向量必正交,于是:

$$
(a,b,c) \cdot \begin{bmatrix}
1\\
0\\
-1
\end{bmatrix}=0;
$$

$$
(a,b,c) \cdot \begin{bmatrix}
1\\
0\\
1
\end{bmatrix} = 0.
$$

即:

$$
a-c = 0, a + c = 0 \Rightarrow
$$

$$
a = 0, c = 0.
$$

在 $a=0$, $c=0$ 的情况下,变量 $b$ 可以【看似】随意取值。但是,如果 $b=0$, 则实对称矩阵 $A$ 的 $\lambda_{3}=0$ 的特征向量就变成了 $(0,0,0)^{\top}$, 由于实对称矩阵的所有特征向量都必须是相互之间线性无关的,而零向量和任何向量都是线性相关的,于是,可知:

$$
b \neq 0.
$$

又由于,我们只需要求出基础解系即可,于是可令:

$$
b=1.
$$

进而可知:

矩阵 $A$ 有三个特征值,分别为:

$$
\lambda_{1} = -1, \lambda_{2} = 1, \lambda_{3} = 0.
$$

这三个特征值对应的特征向量,分别为:

$$
\xi_{1}=(1,0,-1)^{\top}, \xi_{2}=(1,0,1)^{\top}, \xi_{3}=(0,1,0)^{\top}.
$$

第 $(Ⅱ)$ 问

方法一

令:

$$
P = (\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}).
$$

则由实对称矩阵的性质可知:

$$
P^{-1}AP = \begin{bmatrix}
\lambda_{1} & & \\
& \lambda_{2} & \\
& & \lambda_{3}
\end{bmatrix}
$$

于是:

$$
A = P
\begin{bmatrix}
\lambda_{1} & & \\
& \lambda_{2} & \\
& & \lambda_{3}
\end{bmatrix}
P^{-1}.
$$

又:

$$
(P, E) \Rightarrow
$$

$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\
-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\Rightarrow 初等行变换 \Rightarrow
$$

$$
(E, P^{-1}) \Rightarrow
$$

$$
P^{-1} =\begin{bmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$

于是:

$$
A=
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
-1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$

$$
A = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
$$

方法二

由特征值与特征向量之间的关系可知:

$$
A(\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}) =
$$

$$
(A \xi_{1}, A \xi_{2}, A \xi_{3}) =
$$

$$
(\lambda_{1} \cdot \xi_{1}, \lambda_{2} \cdot \xi_{2}, \lambda_{3} \cdot \xi_{3}) =
$$

$$
(-1 \cdot \xi_{1}, 1 \cdot \xi_{2}, 0\cdot \xi_{3}) =
$$

$$
(- \xi_{1}, \cdot \xi_{2}, 0).
$$

又由 $A(\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3})$ 可得:

$$
A = (\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}) \cdot (\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3})^{-1}.
$$

于是:

$$
A =
(- \xi_{1}, \cdot \xi_{2}, 0) \cdot (\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3})^{-1} \Rightarrow
$$

$$
A = \begin{bmatrix}
-1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}.
$$

注:$(\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3})^{-1}$ 就是第 $(Ⅰ)$ 问中计算出来的 $P^{-1}$.

计算后,得:

$$
A = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
$$


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