题目
设 $A$ 为三阶实对称矩阵，$A$ 的秩为 $2$, 且：
$$
A \begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 0\\
-1 & 1
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
-1 & 1\\
0 & 0\\
1 & 1
\end{bmatrix}.
$$
$(Ⅰ)$ 求 $A$ 的所有特征值与特征向量
$(Ⅱ)$ 求矩阵 $A$.
解析
第 $(Ⅰ)$ 问
由于：
$$
r(A) = 2 < 3.
$$
因此：
$$
|A| = 0
$$
若设矩阵 $A$ 的特征值分别为：
$$
\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}.
$$
则有：
$$
\lambda_{1} \cdot \lambda_{2} \cdot \lambda_{3} = |A| = 0.
$$
于是可知，至少存在 $\lambda_{3} = 0$ 为矩阵 $A$ 的其中一个特征值。
又由题知：
$$
A\begin{bmatrix}
1\\
0\\
-1
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
-1\\
0\\
1
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
A\begin{bmatrix}
1\\
0\\
-1
\end{bmatrix}
=(-1) \cdot \begin{bmatrix}
1\\
0\\
-1
\end{bmatrix}.
$$
$$
A\begin{bmatrix}
1\\
0\\
1
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
1\\
0\\
1
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
A\begin{bmatrix}
1\\
0\\
1
\end{bmatrix}
=(1) \cdot \begin{bmatrix}
1\\
0\\
1
\end{bmatrix}.
$$
于是可知：
$\lambda_{1} = -1$ 为矩阵 $A$ 的一个特征值，对应的特征向量为：$(1,0,-1)^{\top}$;
$\lambda_{2} = 1$ 为矩阵 $A$ 的另一个特征值，对应的特征向量为：$(1,0,1)^{\top}$.
在这里，我们可以设矩阵 $A$ 的第三个特征值 $\lambda_{3} = 0$ 对应的特征向量为 $(a,b,c)^{\top}$.
又因为，对于实对称矩阵而言，不同特征值对应的特征向量必正交，于是：
$$
(a,b,c) \cdot \begin{bmatrix}
1\\
0\\
-1
\end{bmatrix}=0;
$$
$$
(a,b,c) \cdot \begin{bmatrix}
1\\
0\\
1
\end{bmatrix} = 0.
$$
即：
$$
a-c = 0, a + c = 0 \Rightarrow
$$
$$
a = 0, c = 0.
$$
在 $a=0$, $c=0$ 的情况下，变量 $b$ 可以【看似】随意取值。但是，如果 $b=0$, 则实对称矩阵 $A$ 的 $\lambda_{3}=0$ 的特征向量就变成了 $(0,0,0)^{\top}$, 由于实对称矩阵的所有特征向量都必须是相互之间线性无关的，而零向量和任何向量都是线性相关的，于是，可知：
$$
b \neq 0.
$$
又由于，我们只需要求出基础解系即可，于是可令：
$$
b=1.
$$
进而可知：
矩阵 $A$ 有三个特征值，分别为：
$$
\lambda_{1} = -1, \lambda_{2} = 1, \lambda_{3} = 0.
$$
这三个特征值对应的特征向量，分别为：
$$
\xi_{1}=(1,0,-1)^{\top}, \xi_{2}=(1,0,1)^{\top}, \xi_{3}=(0,1,0)^{\top}.
$$
第 $(Ⅱ)$ 问
方法一
令：
$$
P = (\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}).
$$
则由实对称矩阵的性质可知：
$$
P^{-1}AP = \begin{bmatrix}
\lambda_{1} & & \\
& \lambda_{2} & \\
& & \lambda_{3}
\end{bmatrix}
$$
于是：
$$
A = P
\begin{bmatrix}
\lambda_{1} & & \\
& \lambda_{2} & \\
& & \lambda_{3}
\end{bmatrix}
P^{-1}.
$$
又：
$$
(P, E) \Rightarrow
$$
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\
-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\Rightarrow 初等行变换 \Rightarrow
$$
$$
(E, P^{-1}) \Rightarrow
$$
$$
P^{-1} =\begin{bmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$
于是：
$$
A=
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
-1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
A = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
$$
方法二
由特征值与特征向量之间的关系可知：
$$
A(\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}) =
$$
$$
(A \xi_{1}, A \xi_{2}, A \xi_{3}) =
$$
$$
(\lambda_{1} \cdot \xi_{1}, \lambda_{2} \cdot \xi_{2}, \lambda_{3} \cdot \xi_{3}) =
$$
$$
(-1 \cdot \xi_{1}, 1 \cdot \xi_{2}, 0\cdot \xi_{3}) =
$$
$$
(- \xi_{1}, \cdot \xi_{2}, 0).
$$
又由 $A(\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3})$ 可得：
$$
A = (\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}) \cdot (\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3})^{-1}.
$$
于是：
$$
A =
(- \xi_{1}, \cdot \xi_{2}, 0) \cdot (\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3})^{-1} \Rightarrow
$$
$$
A = \begin{bmatrix}
-1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}.
$$
注：$(\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3})^{-1}$ 就是第 $(Ⅰ)$ 问中计算出来的 $P^{-1}$.
计算后，得：
$$
A = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
$$