2011年考研数二第23题解析：实对称矩阵、特征值和特征向量、向量正交运算

题目

设 $A$ 为三阶实对称矩阵，$A$ 的秩为 $2$, 且：

$$A\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\\ -1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 0\\ 1& 1\end{array}\right].$$

$(\mathrm{Ⅰ})$ 求 $A$ 的所有特征值与特征向量

$(\mathrm{Ⅱ})$ 求矩阵 $A$.

解析

第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问

由于：

$$r(A)=2<3.$$

因此：

$$|A|=0$$

若设矩阵 $A$ 的特征值分别为：

$${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3.$$

则有：

$${\lambda }_1\cdot {\lambda }_2\cdot {\lambda }_3=|A|=0.$$

于是可知，至少存在 ${\lambda }_3=0$ 为矩阵 $A$ 的其中一个特征值。

又由题知：

$$A\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$A\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right]=(-1)\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right].$$

$$A\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$A\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]=(1)\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right].$$

于是可知：

${\lambda }_1=-1$ 为矩阵 $A$ 的一个特征值，对应的特征向量为：$(1,0,-1{)}^{\mathrm{\top }}$;

${\lambda }_2=1$ 为矩阵 $A$ 的另一个特征值，对应的特征向量为：$(1,0,1{)}^{\mathrm{\top }}$.

在这里，我们可以设矩阵 $A$ 的第三个特征值 ${\lambda }_3=0$ 对应的特征向量为 $(a,b,c{)}^{\mathrm{\top }}$.

又因为，对于实对称矩阵而言，不同特征值对应的特征向量必正交，于是：

$$(a,b,c)\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right]=0;$$

$$(a,b,c)\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]=0.$$

即：

$$a-c=0,a+c=0\Rightarrow$$

$$a=0,c=0.$$

在 $a=0$, $c=0$ 的情况下，变量 $b$ 可以【看似】随意取值。但是，如果 $b=0$, 则实对称矩阵 $A$ 的 ${\lambda }_3=0$ 的特征向量就变成了 $(0,0,0{)}^{\mathrm{\top }}$, 由于实对称矩阵的所有特征向量都必须是相互之间线性无关的，而零向量和任何向量都是线性相关的，于是，可知：

$$b\ne 0.$$

又由于，我们只需要求出基础解系即可，于是可令：

$$b=1.$$

进而可知：

矩阵 $A$ 有三个特征值，分别为：

$${\lambda }_1=-1,{\lambda }_2=1,{\lambda }_3=0.$$

这三个特征值对应的特征向量，分别为：

$${\xi }_1=(1,0,-1{)}^{\mathrm{\top }},{\xi }_2=(1,0,1{)}^{\mathrm{\top }},{\xi }_3=(0,1,0{)}^{\mathrm{\top }}.$$

第 $(\mathrm{Ⅱ})$ 问

方法一

令：

$$P=({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3).$$

则由实对称矩阵的性质可知：

$$P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right]$$

于是：

$$A=P\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right]P^{-1}.$$

又：

$$(P,E)\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{cccccc}1& 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 1& 0\\ -1& 1& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\Rightarrow \mathrm{初}\mathrm{等}\mathrm{行}\mathrm{变}\mathrm{换}\Rightarrow$$

$$(E,P^{-1})\Rightarrow$$

$$P^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& 0& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$$

于是：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& 0& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right].$$

方法二

由特征值与特征向量之间的关系可知：

$$A({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)=$$

$$(A{\xi }_1,A{\xi }_2,A{\xi }_3)=$$

$$({\lambda }_1\cdot {\xi }_1,{\lambda }_2\cdot {\xi }_2,{\lambda }_3\cdot {\xi }_3)=$$

$$(-1\cdot {\xi }_1,1\cdot {\xi }_2,0\cdot {\xi }_3)=$$

$$(-{\xi }_1,\cdot {\xi }_2,0).$$

又由 $A({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)$ 可得：

$$A=({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)\cdot ({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3{)}^{-1}.$$

于是：

$$A=(-{\xi }_1,\cdot {\xi }_2,0)\cdot ({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3{)}^{-1}\Rightarrow$$

$$A=\left[\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& 0& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\\ 0& 1& 0\end{array}\right].$$

注：$({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3{)}^{-1}$ 就是第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问中计算出来的 $P^{-1}$.

计算后，得：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right].$$