题目
设 $A=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4})$ 是四阶矩阵，$A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若 $(1,0,1,0)^{\top}$ 是方程组 $AX=0$ 的一个基础解系，则 $A^{*} X = 0$ 的基础解系可为 $()$
$$
(A)\alpha_{1}, \alpha_{3}
$$
$$
(B)\alpha_{1}, \alpha_{2}
$$
$$
(C)\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}
$$
$$
(D)\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}
$$
解析
由题可知，$AX=0$ 的基础解系里只包含一个线性无关的解向量，相应的，矩阵 $A$ 的秩就是：
$$
r(A) = 4 – 1 = 3.
$$
由于 $r(A) = 3$, 则，根据：
$$r(A^{*}) =\left\{\begin{matrix}n, r(A) = n,\\1, r(A) = n-1,\\0, r(A) < n-1.\end{matrix}\right.$$
可知：
$$
r(A^{*}) = 1.
$$
也就是说，$A^{*}X = 0$ 的基础解系中有 $4-1=3$ 个线性无关的解向量。
至此，可以排除 $A$ 和 $B$ 两个选项。
由于 $r(A) = 3 < 4$, 所以：
$$
|A| = 0.
$$
又：
$$
A^{*}A = |A|E = 0 E.
$$
所以：
$$
A^{*}A = O.
$$
又：
$$
A=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4})
$$
故，向量组 $(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4})$ 是方程 $A^{*}X=0$ 的一组解。
又有由题知：
$$
A
\begin{bmatrix}
1\\
0\\
1\\
0
\end{bmatrix}=0 \Rightarrow
$$
$$
(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4})
\begin{bmatrix}
1\\
0\\
1\\
0
\end{bmatrix}=0 \Rightarrow
$$
$$
\alpha_{1} + \alpha_{3} = 0 \Rightarrow
$$
$$
\alpha_{1} = – \alpha_{3}.
$$
即，$\alpha_{1}$ 和 $\alpha_{3}$ 是线性相关的，$\alpha_{1}$ 可由 $\alpha_{3}$ 线性表示，那么 $\alpha_{1}$ 也可以由 $\alpha_{2}$ 和 $\alpha_{3}$ 共同线性表示，则 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 这三个向量构成的向量组一定是线性相关的，从而就一定不是一个基础解系，因此，排除 $C$ 选项。
同理可知，由 $\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 这三个向量构成的向量组是线性无关的，根据基础解系的定义可知，$\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 可以作为方程组 $A^{*}X = 0$ 的一个基础解系。
综上可知，正确选项为 $D$.