[高数]极限环境下 “0 正” 除以 “0 负” 等于多少?

前言

本文要讨论的是：极限环境下 “$0$ 正” 除以 “$0$ 负” 等于多少?

也就是讨论：

$$lim\frac{0^{+}}{0^{-}}=?$$

正文

（下面的部分表述具有“主观经验主义”的性质，仅作为理解某些数学原理时的参考，不具有数学意义上的正确性。）

无论除以 $0^{+}$ 还是除以 $0^{-}$, 其实都是除以 $0$. 在非极限环境下，讨论除以 $0$ 等于多少是没有意义的。但是，在求极限的题目中，我们经常可以遇到分母的【极限】为 $0$ 的式子并且这些式子往往还存在极限值。也就是说，极限环境下的【趋于零】和普通的【等于零】是有区别的——【趋于零】的时候既具有【等于零】时候的性质，也具有【不等于零】时候的性质。

至于什么时候使用【趋于零】中包含的【等于零】的性质，什么时候使用【趋于零】中包含的【不等于零】的性质，取决于用哪个性质能让当前的计算变得有意义且符合运算逻辑。

在本文中，如果要让 $lim\frac{0^{+}}{0^{-}}$ 有意义，很显然，要使用【趋于零】中【不等于零】的性质。

我们知道，在数轴上，分布于 $0$ 点左右两侧且距 $0$ 点的距离相等的两个点对应的数值相除的话，其值等于 $-1$. 例如：

$$\frac{-2}{2}=-1;$$

$$\frac{3}{-3}=-1,.$$

由于极限环境下 $0^{+}$ 和 $0^{-}$ 都不等于 $0$ 且对称地部分在数轴上 $0$ 点的左右两侧，因此，我们有：

$$lim\frac{0^{+}}{0^{-}}=-1.$$

同理：

$$lim\frac{0^{-}}{0^{+}}=-1;$$

$$lim\frac{0^{+}}{0^{+}}=1;$$

$$lim\frac{0^{-}}{0^{-}}=1.$$

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