2012年考研数二第13题解析

题目

曲线 $y=x^2+x(x<0)$ 上曲率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的点的坐标为 $?$

解析

由题得：

$$y^{‘}=2x+1;$$

$$y^{”}=2.$$

设满足条件的点的坐标为 $(x_0,y_0)$.

则：

$$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2}{[1+(2x_0+1{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}\Rightarrow$$

$$4=\sqrt{2}\sqrt{[1+(2x_0+1{)}^2{]}^3}\Rightarrow$$

$$16=2[1+(2x_0+1{)}^2{]}^3\Rightarrow$$

$$8=[1+(2x_0+1{)}^2{]}^3\Rightarrow$$

$$2=[1+(2x_0+1{)}^2]\Rightarrow$$

$$1=(2x_0+1{)}^2\Rightarrow$$

$$x_0=0;$$

或者：

$$x_0=-1.$$

又 $x<0$, 于是：

$$x_0=-1;$$

$$y_0=0.$$

综上可知，正确答案为 $(-1,0)$.

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