2013年考研数二第06题解析

题目

设 $D_k$ 是圆域 $D=(x,y)|x^2+y^2⩽1$ 在第 $k$ 象限的部分，记 $I_k={\iint }_{D_k}(y-x)dxdy(k=1,2,3,4)$, 则 $?$

$$A.I_1>0$$

$$B.I_2>0$$

$$C.I_3>0$$

$$D.I_4>0$$

解析

对于二重积分，首先要画出积分区域，本题中的积分区域如图 1 所示：

由于这个积分区域 $D$ 具有很强的对称性，因此，我们首先考虑能否利用对称性做一些判断。

由图知，$D_1$ 和 $D_3$ 关于直线 $y=x$ 对称，因此：

$${\iint }_{D_{1,3}}(y-x)dxdy=$$

$${\iint }_{D_{1,3}}(x-y)dxdy=$$

$$\frac{1}{2}{\iint }_{D_{1,3}}[(y-x)+(x-y)]dxdy=0.$$

因此：

$$I_1=I_3=0.$$

于是，可以排除 $A$, $C$ 两个选项。

又由图知，$D_2$ 和 $D_4$ 关于直线 $y=-x$ 对称，因此：

$${\iint }_{D_{2,4}}(y-x)dxdy=$$

$${\iint }_{D_{2,4}}[y+(-x)]dxdy$$

又因为，在第二象限内，$x<0,y>0$, 于是 $y+(-x)>0$, 因此：

$$I_2={\iint }_{D_2}[y+(-x)]>0.$$

而在第四象限内，$x>0,y<0$, 于是 $y+(-x)<0$, 因此：

$$I_4={\iint }_{D_4}[y+(-x)]<0.$$

补充：

《[高数]二重积分的几何意义解释》

综上可知，正确选项为 $B$.

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