2016年考研数二第11题解析

题目

编号:A2016211

以 $y=x^{2}-e^{x}$ 和 $y=x^{2}$ 为特解的一阶非齐次线性微分方程为 $?$

解析

方法一:

无论是通解还是特解,都是微分方程的解,因此,都可以带入到对应的微分方程中并使之成立。

设该微分方程为:

$$
y^{‘} + p(x)y = q(x). ①
$$

将 $y=x^{2}-e^{x}$ 和 $y=x^{2}$ 带入 $①$ 式中,得:

$$
2x – e^{x} + p(x) (2x – e^{x}) = q(x); ②
$$

$$
2x + p(x) x^{2} = q(x). ③
$$

联立 $②$, $③$ 两式得:

$$
p(x) = -1;
$$

$$
q(x) = 2x – x^{2}.
$$

于是,要求的微分方程为:

$$
y^{‘} – y = 2x – x^{2}.
$$

方法二:

根据微分方程解的结构可以知道,若 $y_{1}$, $y_{2}$ 为非齐次方程的解,则 $y_{1} – y_{2}$ 为对应的齐次方程的解。

于是:

$$
y = (x^{2} – e^{x}) – (x^{2}) =
$$

$$
-e^{x}.
$$

为 $y^{‘} + p(x)y = 0$ 的解,代入可得:

$$
-e^{x} + p(x) (-e^{x}) = 0 \Rightarrow
$$

$$
(-e^{x})p(x) = e^{x} \Rightarrow
$$

$$
p(x) = -1.
$$

于是有:

$$
y^{‘} – y = q(x) ④
$$

将 $y=x^{2}$ 带入 $④$ 式得:

$$
2x – x^{2} = q(x) \Rightarrow
$$

$$
q(x) = 2x – x^{2}.
$$

于是,要求的微分方程为:

$$
y^{‘} – y = 2x – x^{2}.
$$

综上可知,正确答案为 $y^{‘} – y = 2x – x^{2}$.

EOF


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