2016年考研数二第04题解析

题目

编号：A2016204

设函数 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内连续，其导函数的图形如图1 所示，则 $?$

$$A.\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{有}2\mathrm{个}\mathrm{极}\mathrm{值}\mathrm{点}，\mathrm{曲}\mathrm{线}y=f(x)\mathrm{有}2\mathrm{个}\mathrm{拐}\mathrm{点}$$

$$B.\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{有}2\mathrm{个}\mathrm{极}\mathrm{值}\mathrm{点}，\mathrm{曲}\mathrm{线}y=f(x)\mathrm{有}3\mathrm{个}\mathrm{拐}\mathrm{点}$$

$$C.\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{有}3\mathrm{个}\mathrm{极}\mathrm{值}\mathrm{点}，\mathrm{曲}\mathrm{线}y=f(x)\mathrm{有}1\mathrm{个}\mathrm{拐}\mathrm{点}$$

$$D.\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{有}3\mathrm{个}\mathrm{极}\mathrm{值}\mathrm{点}，\mathrm{曲}\mathrm{线}y=f(x)\mathrm{有}2\mathrm{个}\mathrm{拐}\mathrm{点}$$

解析

本题考查的就是极值点和拐点的知识。

• 极值点

$f(x)$ 增减性发生改变的点 $\iff$ $f^{‘}(x)$ 的正负发生改变的点。

注意：虽然，若 $(t,f^{‘}(t))$ 为极值点时，有 $f^{‘}(t)=0$, 但仅凭 $f^{‘}(r)=0$ 是无法确定 $(r,f^{‘}(r))$ 是极值点的。因为，极值点的本质是一阶导的正负发生改变的点，极值点处的一阶导为零只是这一前提的必然结果而已。反之，一阶导为零的点并不一定是一阶导的正负发生改变的点。

• 拐点

$f(x)$ 的凹凸性发生改变的点 $\iff$ $f^{‘}(x)$ 的增减性发生改变的点 $\iff$ $f^{”}(x)$ 的正负发生改变的点。

注意：同上述在【极值点】处的分析，$f^{”}(x)=0$ 对应的点并不一定是拐点。

据此，解题过程如图 1 所示：

由上可知，$f(x)$ 的极值点有 $a,b$ 两个，$y=f(x)$ 的拐点有 $c,d,e$ 三个。

本题中容易忽略的一个拐点就是 $c$ 点。由于题目中说明了 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上连续，那么 $f(x)$ 在 $c$ 点一定是有定义的，又因为在 $c$ 点两侧，$f^{‘}(x)$ 的凹凸性发生了改变，于是，$c$ 点一定是拐点之一。

——这毕竟是考研试题，至少要有一点弯儿的，很少有题会直接用概念就能解出而不需要思考一下。

本题另外一个需要注意的地方是，题中给出的图像时 $f^{‘}(x)$ 的图像，而不是 $f(x)$ 的图像。

——仔细读题。

综上可知，正确答案为 $B$.

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