题目
编号：A2016203
反常积分 $① \int_{- \infty}^{0} \frac{1}{x^{2}} e^{\frac{1}{x}} dx$, $② \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} e^{\frac{1}{x}} dx$ 的敛散性为 $?$
$$A. ① 收敛，② 收敛$$
$$B. ① 收敛，② 发散$$
$$C. ① 发散，② 收敛$$
$$D. ① 发散，② 发散$$
解析
对于反常积分敛散性的判别，除了可以尝试使用反常积分敛散性的性质之外，还可以尝试直接求积分，根据积分结果判断是收敛还是发散。
由于：
$$
(e^{\frac{1}{x}})^{‘} =
$$
$$
e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x^{2}}) =
$$
$$
(-1)e^{\frac{1}{x}}(\frac{1}{x^{2}}).
$$
于是：
$$
\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{x^{2}} e^{\frac{1}{x}} =
$$
$$
(-1) e^{\frac{1}{x}} |_{- \infty}^{0^{-}} =
$$
$$(-1)[e^{\frac{1}{0^{-}}} – e^{\frac{1}{- \infty}}] (Ⅰ)$$
注意：由于 $\frac{1}{0}$ 是无意义的，因此，这里取的是 $x \rightarrow 0^{-}$, 同样地，下面会用到 $x \rightarrow 0^{+}$.
$$
\int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} e^{\frac{1}{x}} dx =
$$
$$
(-1)e^{\frac{1}{x}} |_{0^{+}}^{+ \infty} =
$$
$$(-1)[e^{\frac{1}{+ \infty}} – e^{\frac{1}{0^{+}}}] (Ⅱ)$$
又：
$$
\frac{1}{ + \infty} = \frac{1}{- \infty} = 0.
$$
$$
\frac{1}{0^{-}} = – \infty.
$$
$$
\frac{1}{0^{+}} = + \infty.
$$
于是：
$$
(Ⅰ) \Rightarrow
$$
$$
(-1)[e^{\frac{1}{0^{-}}} – e^{\frac{1}{- \infty}}] =
$$
$$
(-1)[e^{- \infty} – e^{0}] =
$$
$$
(-1)[0 – 1] = 1.
$$
$$
(Ⅱ) \Rightarrow
$$
$$
(-1)[e^{\frac{1}{+ \infty}} – e^{\frac{1}{0^{+}}}] =
$$
$$
(-1)[e^{0} – e^{+ \infty}] =
$$
$$
(-1)[1- (+\infty)] =
$$
$$
+ \infty.
$$
于是可知：
$①$ 式收敛，$②$ 式发散。
综上可知，正确答案为 $B$.
EOF