2016年考研数二第03题解析

题目

编号:A2016203

反常积分 01x2e1xdx, 0+1x2e1xdx 的敛散性为 ?

A.

B.

C.

D.

解析

对于反常积分敛散性的判别,除了可以尝试使用反常积分敛散性的性质之外,还可以尝试直接求积分,根据积分结果判断是收敛还是发散。

由于:

(e1x)=

e1x(1x2)=

(1)e1x(1x2).

于是:

01x2e1x=

(1)e1x|0=

(1)[e10e1]()

注意:由于 10 是无意义的,因此,这里取的是 x0, 同样地,下面会用到 x0+.

0+1x2e1xdx=

(1)e1x|0++=

(1)[e1+e10+]()

又:

1+=1=0.

10=.

10+=+.

于是:

()

(1)[e10e1]=

(1)[ee0]=

(1)[01]=1.

()

(1)[e1+e10+]=

(1)[e0e+]=

(1)[1(+)]=

+.

于是可知:

式收敛, 式发散。

综上可知,正确答案为 B.

EOF


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