题目
$$
\int_{0}^{1} dy \int_{y}^{1} \frac{\tan x}{x} dx = ?
$$
解析
对于一重积分，我们只能从被积函数（根据被积函数找原函数）以及积分上下限（当积分上下限关于 $x$ 轴或者 $y$ 轴对称的时候，考虑是否能化简，是否能利用奇偶函数的性质等）。但对于二重积分，我们除了可以使用上述用于一重积分的思考方法之外，还可以从积分次序上寻找突破口——对于二重积分，如果不知道怎么算，就先尝试画出积分区域。
对于本题，被积函数 $\frac{\tan x}{x}$ 如果先对 $x$ 求积分的话，很难找到求原函数（既没有相应的积分公式，也没有可用的积分技巧），因此，这里先画出积分区域，看一看是否可以通过改变积分次序找到突破口，如图 1:
图 1
于是，我们有：
$$
\int_{0}^{1} dy \int_{y}^{1} \frac{\tan x}{x} dx =
$$
$$
\int_{0}^{1} \frac{\tan x}{x} dx \int_{0}^{x} 1 dy =
$$
$$
\int_{0}^{1} \frac{\tan x}{x} x dx =
$$
$$
\int_{0}^{1} \tan x dx =
$$
$$
(-1) \ln |\cos x| |_{0}^{1} =
$$
$$
(-1)[\ln \cos 1 – \ln \cos 0] =
$$
其中 $\cos 1 > 0$, $\cos 0 = 1 > 0$.
$$
(-1)[\ln \cos 1 – \ln 1]=
$$
$$
(-1)[\ln \cos 1 – 0] =
$$
$$
(-1) \ln \cos 1 =
$$
$$
– \ln \cos 1.
$$
综上可知，正确答案为 $- \ln \cos 1$.
EOF