题目
$$
\int_{0}^{1} dy \int_{y}^{1} \frac{\tan x}{x} dx = ?
$$
解析
对于一重积分,我们只能从被积函数(根据被积函数找原函数)以及积分上下限(当积分上下限关于 $x$ 轴或者 $y$ 轴对称的时候,考虑是否能化简,是否能利用奇偶函数的性质等)。但对于二重积分,我们除了可以使用上述用于一重积分的思考方法之外,还可以从积分次序上寻找突破口——对于二重积分,如果不知道怎么算,就先尝试画出积分区域。
对于本题,被积函数 $\frac{\tan x}{x}$ 如果先对 $x$ 求积分的话,很难找到求原函数(既没有相应的积分公式,也没有可用的积分技巧),因此,这里先画出积分区域,看一看是否可以通过改变积分次序找到突破口,如图 1:
![](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2020/06/27/b/image001.webp)
图 1
于是,我们有:
$$
\int_{0}^{1} dy \int_{y}^{1} \frac{\tan x}{x} dx =
$$
$$
\int_{0}^{1} \frac{\tan x}{x} dx \int_{0}^{x} 1 dy =
$$
$$
\int_{0}^{1} \frac{\tan x}{x} x dx =
$$
$$
\int_{0}^{1} \tan x dx =
$$
$$
(-1) \ln |\cos x| |_{0}^{1} =
$$
$$
(-1)[\ln \cos 1 – \ln \cos 0] =
$$
其中 $\cos 1 > 0$, $\cos 0 = 1 > 0$.
$$
(-1)[\ln \cos 1 – \ln 1]=
$$
$$
(-1)[\ln \cos 1 – 0] =
$$
$$
(-1) \ln \cos 1 =
$$
$$
– \ln \cos 1.
$$
综上可知,正确答案为 $- \ln \cos 1$.
EOF