2017年考研数二第07题解析

题目

设 $A$ 为 $3$ 阶矩阵，$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$ 为可逆矩阵，使得 $P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$, 则 $A({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3)=?$

$$A.{\alpha }_1+{\alpha }_2$$

$$B.{\alpha }_2+2{\alpha }_3$$

$$C.{\alpha }_2+{\alpha }_3$$

$$D.{\alpha }_1+2{\alpha }_2$$

解析

当拿到一个题目却不知道如何下手的时候，可以先对已知条件做做变形，看一看能否和其他已知条件以及要解答的问题建立联系。下面两种解法都是在这样的试探中解出来的。

方法一：

已知：

$$A({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3)=$$

$$A{\alpha }_1+A{\alpha }_2+A{\alpha }_3.$$

（将 $A$ 和 $\alpha$ 都看作 $1$ 阶矩阵就会发现上述运算过程是正确的。）

又：

$$AP=P\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]=$$

$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]=$$

$$(0,{\alpha }_2,2{\alpha }_3).$$

又：

$$AP=(A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3).$$

于是：

$$(A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3)=(0,{\alpha }_2,2{\alpha }_3).$$

即：

$$A{\alpha }_1=0;$$

$$A{\alpha }_2={\alpha }_2;$$

$$A{\alpha }_3=2{\alpha }_3$$

则：

$$A{\alpha }_1+A{\alpha }_2+A{\alpha }_3=$$

$$0+{\alpha }_2+2{\alpha }_3=$$

$${\alpha }_2+2{\alpha }_3.$$

方法二：

由于：

$$({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3)=$$

$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]=$$

$$P\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right].$$

于是：

$$A({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3)=$$

$$AP\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right].$$

又因为：

$$AP=P\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$$

所以：

$$A({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3)=$$

$$P\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]=$$

$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]=$$

$$(0,{\alpha }_2,2{\alpha }_3)\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]=$$

$${\alpha }_2+2{\alpha }_3.$$

方法三：

观察可知，$P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$中的$\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$ 是一个对角矩阵，而在将矩阵对角化的过程中，我们知道，$P^{-1}AP=\mathrm{\Lambda }$ 中的 $P$ 是由 $A$ 的特征向量组成的可逆矩阵，$\mathrm{\Lambda }$ 是由 $A$ 的特征值组成的对角矩阵。而且，$P$ 中特征向量的顺序和 $\mathrm{\Lambda }$ 中特征值的顺序是一一对应的。

由上述分析，我们可以知道：

$$A{\alpha }_1={\lambda }_1{\alpha }_1;$$

$$A{\alpha }_2={\lambda }_2{\alpha }_2;$$

$$A{\alpha }_3={\lambda }_3{\alpha }_3.$$

又：

$${\lambda }_1=0;$$

$${\lambda }_2=1;$$

$${\lambda }_3=2;$$

于是：

$$A{\alpha }_1+A{\alpha }_2+A{\alpha }_3=$$

$${\lambda }_1{\alpha }_1+{\lambda }_2{\alpha }_2+{\lambda }_3{\alpha }_3=$$

$$0+{\alpha }_2+2{\alpha }_3=$$

$${\alpha }_2+2{\alpha }_3.$$

方法三是我完全独立想出来的解题方法，使用该方法解本题速度最快。

综上可知，正确选项为 $B$.

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