题目
设 $A$ 为 $3$ 阶矩阵，$P=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$ 为可逆矩阵，使得 $P^{-1}AP=\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}$, 则 $A(\alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}) = ?$
$$A. \alpha_{1} + \alpha_{2}$$
$$B. \alpha_{2} + 2 \alpha_{3}$$
$$C. \alpha_{2} + \alpha_{3}$$
$$D. \alpha_{1} + 2 \alpha_{2}$$
解析
当拿到一个题目却不知道如何下手的时候，可以先对已知条件做做变形，看一看能否和其他已知条件以及要解答的问题建立联系。下面两种解法都是在这样的试探中解出来的。
方法一：
已知：
$$
A(\alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}) =
$$
$$
A \alpha_{1} + A \alpha_{2} + A \alpha_{3}.
$$
（将 $A$ 和 $\alpha$ 都看作 $1$ 阶矩阵就会发现上述运算过程是正确的。）
又：
$$
AP = P
\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}
=
$$
$$
(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})
\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}
=
$$
$$
(0, \alpha_{2}, 2 \alpha_{3}).
$$
又：
$$
AP = (A \alpha_{1}, A \alpha_{2}, A \alpha_{3}).
$$
于是：
$$
(A \alpha_{1}, A \alpha_{2}, A \alpha_{3}) = (0, \alpha_{2}, 2 \alpha_{3}).
$$
即：
$$
A \alpha_{1} = 0;
$$
$$
A \alpha_{2} = \alpha_{2};
$$
$$
A \alpha_{3} = 2 \alpha_{3}
$$
则：
$$
A \alpha_{1} + A \alpha_{2} + A \alpha_{3} =
$$
$$
0 + \alpha_{2} + 2 \alpha_{3} =
$$
$$
\alpha_{2} + 2 \alpha_{3}.
$$
方法二：
由于：
$$
(\alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3})=
$$
$$
(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix}
=
$$
$$
P
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix}.
$$
于是：
$$
A(\alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}) =
$$
$$
AP
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix}.
$$
又因为：
$$
AP = P
\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}
$$
所以：
$$
A(\alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}) =
$$
$$
P
\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix}
=
$$
$$
(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})
\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix}
=
$$
$$
(0, \alpha_{2}, 2 \alpha_{3})
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix}
=
$$
$$
\alpha_{2} + 2 \alpha_{3}.
$$
方法三：
观察可知，$P^{-1}AP=
\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}$中的$\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}$ 是一个对角矩阵，而在将矩阵对角化的过程中，我们知道，$P^{-1}AP=\Lambda$ 中的 $P$ 是由 $A$ 的特征向量组成的可逆矩阵，$\Lambda$ 是由 $A$ 的特征值组成的对角矩阵。而且，$P$ 中特征向量的顺序和 $\Lambda$ 中特征值的顺序是一一对应的。
由上述分析，我们可以知道：
$$
A \alpha_{1} = \lambda_{1} \alpha_{1};
$$
$$
A \alpha_{2} = \lambda_{2} \alpha_{2};
$$
$$
A \alpha_{3} = \lambda_{3} \alpha_{3}.
$$
又：
$$
\lambda_{1} =0;
$$
$$
\lambda_{2} =1;
$$
$$
\lambda_{3} =2;
$$
于是：
$$
A \alpha_{1} + A \alpha_{2} + A \alpha_{3} =
$$
$$
\lambda_{1} \alpha_{1} + \lambda_{2} \alpha_{2} + \lambda_{3} \alpha_{3} =
$$
$$
0 + \alpha_{2} + 2 \alpha_{3} =
$$
$$
\alpha_{2} + 2 \alpha_{3}.
$$
方法三是我完全独立想出来的解题方法，使用该方法解本题速度最快。
综上可知，正确选项为 $B$.
EOF